Номер 2, страница 234 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Найдите неизвестные элементы:

1)

ABCD – квадрат, $l_{AD} = 4\pi$;

$S_{ABCD} – ?$

2)

ABCD – квадрат, $P_{ABCD} = 16$;

C – ?

3)

ABCDEF – правильный шестиугольник $S_{ABCDEF} = 36\sqrt{3}$; $l_{AFE} – ?$

4)

C – ?

5)

$l_{AB} = 2\pi$; $S_{ABC} – ?$

6)

AB = 2; $l_{AB} – ?$ $l_{BC} – ?$

1)

Дано:

Фигура ABCD - квадрат, вписанный в окружность.

Длина дуги AD ($l_{AD}$) = $4\pi$.

Найти:

Площадь квадрата ($S_{ABCD}$).

Решение:

Поскольку квадрат ABCD вписан в окружность, его вершины делят окружность на 4 равные дуги. Следовательно, длина всей окружности $C = 4 \cdot l_{AD}$.

$C = 4 \cdot 4\pi = 16\pi$.

Длина окружности также выражается формулой $C = 2\pi R$, где $R$ - радиус окружности.

$2\pi R = 16\pi \implies R = 8$.

Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. Обозначим диагональ $d$.

$d = 2R = 2 \cdot 8 = 16$.

Для квадрата со стороной $a$, диагональ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.

$a\sqrt{2} = 16 \implies a = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$.

Площадь квадрата $S$ вычисляется как квадрат его стороны:

$S_{ABCD} = a^2 = (8\sqrt{2})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128$.

Ответ: 128

2)

Дано:

Фигура ABCD - квадрат, описанный вокруг окружности.

Периметр квадрата ($P_{ABCD}$) = 16.

Найти:

Длина вписанной окружности ($C$).

Решение:

Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ - длина стороны квадрата.

$4a = 16 \implies a = 4$.

Для квадрата, описанного вокруг окружности, сторона квадрата равна диаметру этой вписанной окружности. Обозначим диаметр $d$.

$d = a = 4$.

Радиус вписанной окружности $R = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.

$C = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$

3)

Дано:

Фигура ABCDEF - правильный шестиугольник, вписанный в окружность.

Площадь шестиугольника ($S_{ABCDEF}$) = $36\sqrt{3}$.

Найти:

Длина дуги AFE ($l_{AFE}$).

Решение:

Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, соединенных в центре. Площадь одного такого равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $S_{треуг} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь правильного шестиугольника $S_{шест} = 6 \cdot S_{треуг} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Подставим заданную площадь:

$\frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}$.

Разделим обе стороны на $\sqrt{3}$:

$\frac{3a^2}{2} = 36 \implies 3a^2 = 72 \implies a^2 = 24 \implies a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

В правильном шестиугольнике, вписанном в окружность, сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности. То есть, $R = a = 2\sqrt{6}$.

Правильный шестиугольник делит окружность на 6 равных дуг. Каждая дуга соответствует центральному углу $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Дуга AFE охватывает две стороны шестиугольника (AF и FE). Следовательно, она соответствует центральному углу $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Длина дуги вычисляется по формуле $l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$, где $\alpha$ - центральный угол в градусах.

$l_{AFE} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi (2\sqrt{6}) = \frac{1}{3} \cdot 4\pi\sqrt{6} = \frac{4\pi\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{4\pi\sqrt{6}}{3}$

4)

Дано:

Треугольник ABC вписан в окружность.

Длины сторон: $AB = 10$, $AC = 10$, $BC = 8$.

Найти:

Длина описанной окружности ($C$).

Решение:

Для нахождения длины окружности $C = 2\pi R$, необходимо найти радиус $R$ описанной окружности. Используем формулу $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - длины сторон треугольника, а $S$ - его площадь.

Треугольник ABC является равнобедренным, так как $AB = AC = 10$.

Найдем площадь треугольника. Можно использовать формулу Герона, но для равнобедренного треугольника проще опустить высоту из вершины A на основание BC. Эта высота (обозначим её $h$) разделит основание BC пополам.

Половина основания $BC/2 = 8/2 = 4$.

В прямоугольном треугольнике, образованном половиной основания, высотой и боковой стороной, по теореме Пифагора:

$h^2 + 4^2 = 10^2$

$h^2 + 16 = 100$

$h^2 = 84 \implies h = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$.

Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{21} = 8\sqrt{21}$.

Теперь найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4S} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 8}{4 \cdot 8\sqrt{21}} = \frac{100 \cdot 8}{32\sqrt{21}} = \frac{800}{32\sqrt{21}} = \frac{25}{\sqrt{21}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$R = \frac{25\sqrt{21}}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = \frac{25\sqrt{21}}{21}$.

Теперь найдем длину окружности $C = 2\pi R$:

$C = 2\pi \cdot \frac{25\sqrt{21}}{21} = \frac{50\pi\sqrt{21}}{21}$.

Ответ: $\frac{50\pi\sqrt{21}}{21}$

5)

Дано:

Треугольник ABC вписан в окружность.

Треугольник ABC - равносторонний (обозначения на сторонах указывают на равенство всех сторон).

Длина дуги AB ($l_{AB}$) = $2\pi$.

Найти:

Площадь треугольника ($S_{ABC}$).

Решение:

Равносторонний треугольник, вписанный в окружность, делит ее на 3 равные дуги. Следовательно, длина всей окружности $C = 3 \cdot l_{AB}$.

$C = 3 \cdot 2\pi = 6\pi$.

Длина окружности также выражается формулой $C = 2\pi R$, где $R$ - радиус окружности.

$2\pi R = 6\pi \implies R = 3$.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$, вписанного в окружность радиуса $R$, существует соотношение $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим найденное значение $R$:

$3 = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = 3\sqrt{3}$.

Площадь равностороннего треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{ABC} = \frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(9 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{27\sqrt{3}}{4}$

6)

Дано:

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O.

Длина стороны $AB = 2$.

Угол $\angle BAC = 60^\circ$.

Отрезок AC является диаметром окружности (по рисунку, он проходит через центр O).

Найти:

Длина дуги AB ($l_{AB}$).

Длина дуги BC ($l_{BC}$).

Решение:

Так как AC является диаметром окружности, вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол B = $90^\circ$).

Используем тригонометрические соотношения для нахождения длины диаметра AC:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC}$.

$\cos(60^\circ) = \frac{2}{AC}$.

$\frac{1}{2} = \frac{2}{AC} \implies AC = 4$.

Поскольку $AC$ - диаметр, то $AC = 2R$, где $R$ - радиус окружности.

$2R = 4 \implies R = 2$.

Теперь найдем длины дуг.

1. Длина дуги AB ($l_{AB}$):

Дуга AB опирается на вписанный угол $\angle ACB$. Найдем его:

В прямоугольном треугольнике ABC: $\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен удвоенному вписанному углу, то есть $\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Длина дуги $l_{AB} = \frac{\text{центральный угол}}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 2 = \frac{1}{6} \cdot 4\pi = \frac{2\pi}{3}$.

2. Длина дуги BC ($l_{BC}$):

Дуга BC опирается на вписанный угол $\angle BAC = 60^\circ$.

Центральный угол, опирающийся на дугу BC, равен удвоенному вписанному углу, то есть $\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Длина дуги $l_{BC} = \frac{\text{центральный угол}}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 2 = \frac{1}{3} \cdot 4\pi = \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $l_{AB} = \frac{2\pi}{3}$, $l_{BC} = \frac{4\pi}{3}$