Номер 1, страница 231 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

a – сторона правильного многоугольника; n – число сторон; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности; S – площадь правильного многоугольника.

1. Найдите неизвестные элементы:

1)

$n-?$
$a-?$
$r-?$
$S-?$

2)

$n-?$
$a-?$
$r-?$
$S-?$

3)

$n-?$
$a-?$
$r-?$
$S-?$

4)

$n-?$
$a-?$
$r-?$
$S-?$

5)

$n-?$
$R-?$
$r-?$
$S-?$

6)

$n-?$
$a-?$
$r-?$
$S-?$

7)

$a-?$
$n-?$
$a-?$
$r-?$
$S-?$

8)

$a-?$
$n-?$
$R-?$
$r-?$
$S-?$

9)

$a-?$
$R-?$
$S-?$

10)

$R-?$
$r-?$
$S-?$

11)

$a-?$
$r-?$
$S-?$

12)

$a-?$
$R-?$
$S-?$

13)

$a-?$
$r-?$
$S-?$
$FC-?$
$CE-?$

14)

$a-?$
$R-?$
$S-?$
$FC-?$
$CE-?$

1)

Дано:
Радиус описанной окружности $R = 5$
Центральный угол $\alpha_{cent} = 20^\circ$

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$n-?$
$a-?$
$r-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Центральный угол правильного многоугольника определяется формулой $\alpha_{cent} = \frac{360^\circ}{n}$.
Подставляем данные: $20^\circ = \frac{360^\circ}{n}$.
$n = \frac{360^\circ}{20^\circ} = 18$.
a-?
Сторона $a$ правильного многоугольника выражается через радиус описанной окружности $R$ и центральный угол $\alpha_{cent}$ как $a = 2R \sin(\frac{\alpha_{cent}}{2})$.
$a = 2 \cdot 5 \cdot \sin(\frac{20^\circ}{2}) = 10 \sin(10^\circ)$.
r-?
Радиус вписанной окружности $r$ выражается через радиус описанной окружности $R$ и центральный угол $\alpha_{cent}$ как $r = R \cos(\frac{\alpha_{cent}}{2})$.
$r = 5 \cos(10^\circ)$.
S-?
Площадь правильного многоугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\alpha_{cent})$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 5^2 \sin(20^\circ) = 9 \cdot 25 \sin(20^\circ) = 225 \sin(20^\circ)$.

Ответ:
$n=18$
$a=10 \sin(10^\circ)$
$r=5 \cos(10^\circ)$
$S=225 \sin(20^\circ)$

2)

Дано:
Радиус описанной окружности $R = 6$
Центральный угол $\alpha_{cent} = 18^\circ$

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$n-?$
$a-?$
$r-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Центральный угол правильного многоугольника $\alpha_{cent} = \frac{360^\circ}{n}$.
Подставляем данные: $18^\circ = \frac{360^\circ}{n}$.
$n = \frac{360^\circ}{18^\circ} = 20$.
a-?
Сторона $a = 2R \sin(\frac{\alpha_{cent}}{2})$.
$a = 2 \cdot 6 \cdot \sin(\frac{18^\circ}{2}) = 12 \sin(9^\circ)$.
r-?
Радиус вписанной окружности $r = R \cos(\frac{\alpha_{cent}}{2})$.
$r = 6 \cos(9^\circ)$.
S-?
Площадь $S = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\alpha_{cent})$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 6^2 \sin(18^\circ) = 10 \cdot 36 \sin(18^\circ) = 360 \sin(18^\circ)$.

Ответ:
$n=20$
$a=12 \sin(9^\circ)$
$r=6 \cos(9^\circ)$
$S=360 \sin(18^\circ)$

3)

Дано:
Внутренний угол $\alpha_{int} = 120^\circ$
Радиус описанной окружности $R = 4$

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$n-?$
$a-?$
$r-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Внутренний угол правильного многоугольника $\alpha_{int} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
Подставляем данные: $120^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
$120n = 180n - 360$
$60n = 360$
$n = 6$. Это правильный шестиугольник.
a-?
Для правильного шестиугольника сторона $a$ равна радиусу описанной окружности $R$.
$a = R = 4$.
r-?
Радиус вписанной окружности для правильного шестиугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
S-?
Площадь правильного шестиугольника $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.
$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3}$.

Ответ:
$n=6$
$a=4$
$r=2\sqrt{3}$
$S=24\sqrt{3}$

4)

Дано:
Сторона $a = 4$
Внутренний угол $\alpha_{int} = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$n-?$
$R-?$
$r-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Внутренний угол правильного многоугольника $\alpha_{int} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
Подставляем данные: $60^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
$60n = 180n - 360$
$120n = 360$
$n = 3$. Это правильный треугольник (равносторонний).
R-?
Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$R = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
r-?
Радиус вписанной окружности для правильного треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
$r = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
S-?
Площадь правильного треугольника $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$.

Ответ:
$n=3$
$R=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
$r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$S=4\sqrt{3}$

5)

Дано:
Сторона $a = 8$
Внешний угол $\alpha_{ext} = 30^\circ$

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$n-?$
$R-?$
$r-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Внешний угол правильного многоугольника $\alpha_{ext} = \frac{360^\circ}{n}$.
Подставляем данные: $30^\circ = \frac{360^\circ}{n}$.
$n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$. Это правильный двенадцатиугольник.
R-?
Сторона $a = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
$8 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{12}) = 2R \sin(15^\circ)$.
$R = \frac{4}{\sin(15^\circ)}$. Используем $\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
$R = \frac{4}{(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})} = \frac{16}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{16(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = 4(\sqrt{6}+\sqrt{2})$.
r-?
Радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$.
$r = \frac{8}{2 \tan(15^\circ)} = \frac{4}{\tan(15^\circ)}$. Используем $\tan(15^\circ) = 2-\sqrt{3}$.
$r = \frac{4}{2-\sqrt{3}} = \frac{4(2+\sqrt{3})}{4-3} = 4(2+\sqrt{3})$.
S-?
Площадь $S = \frac{1}{2} n a r$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot 4(2+\sqrt{3}) = 6 \cdot 8 \cdot 4(2+\sqrt{3}) = 192(2+\sqrt{3})$.

Ответ:
$n=12$
$R=4(\sqrt{6}+\sqrt{2})$
$r=4(2+\sqrt{3})$
$S=192(2+\sqrt{3})$

6)

Дано:
Внутренний угол $\alpha_{int} = 150^\circ$
Радиус описанной окружности $R = 7$

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$n-?$
$a-?$
$r-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Внутренний угол правильного многоугольника $\alpha_{int} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
Подставляем данные: $150^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
$150n = 180n - 360$
$30n = 360$
$n = 12$. Это правильный двенадцатиугольник.
a-?
Сторона $a = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
$a = 2 \cdot 7 \sin(\frac{180^\circ}{12}) = 14 \sin(15^\circ)$.
Используем $\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
$a = 14 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{7(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$.
r-?
Радиус вписанной окружности $r = R \cos(\frac{180^\circ}{n})$.
$r = 7 \cos(15^\circ)$.
Используем $\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
$r = 7 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{7(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$.
S-?
Площадь $S = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{360^\circ}{n})$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 7^2 \sin(\frac{360^\circ}{12}) = 6 \cdot 49 \sin(30^\circ)$.
$S = 6 \cdot 49 \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot 49 = 147$.

Ответ:
$n=12$
$a=\frac{7(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$
$r=\frac{7(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$
$S=147$

7)

Дано:
Радиус описанной окружности $R = OA = 6$
В центральном треугольнике $\triangle AOB$: $\angle AOB = \alpha$, $\angle OAB = 2\alpha$

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$n-?$
$a-?$
$r-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Треугольник $AOB$ равнобедренный с $OA = OB = R$. Значит $\angle OAB = \angle OBA = 2\alpha$.
Сумма углов в треугольнике: $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.
$\alpha + 2\alpha + 2\alpha = 180^\circ$.
$5\alpha = 180^\circ$.
$\alpha = 36^\circ$.
Центральный угол правильного многоугольника $\alpha_{cent} = \angle AOB = 36^\circ$.
$n = \frac{360^\circ}{\alpha_{cent}} = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10$. Это правильный десятиугольник.
a-?
Сторона $a = 2R \sin(\frac{\alpha_{cent}}{2})$.
$a = 2 \cdot 6 \sin(\frac{36^\circ}{2}) = 12 \sin(18^\circ)$.
Используем $\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
$a = 12 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = 3(\sqrt{5}-1)$.
r-?
Радиус вписанной окружности $r = R \cos(\frac{\alpha_{cent}}{2})$.
$r = 6 \cos(18^\circ)$.
Используем $\cos(18^\circ) = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$.
$r = 6 \cdot \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} = \frac{3\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}$.
S-?
Площадь $S = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\alpha_{cent})$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6^2 \sin(36^\circ) = 5 \cdot 36 \sin(36^\circ) = 180 \sin(36^\circ)$.
Используем $\sin(36^\circ) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.
$S = 180 \cdot \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} = 45\sqrt{10-2\sqrt{5}}$.

Ответ:
$n=10$
$a=3(\sqrt{5}-1)$
$r=\frac{3\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}$
$S=45\sqrt{10-2\sqrt{5}}$

8)

Дано:
Сторона $a = MN = 6$
В центральном треугольнике $\triangle MON$: $\angle OMN = 4\alpha$, $\angle MON = \alpha$

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$n-?$
$R-?$
$r-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Треугольник $MON$ равнобедренный с $OM = ON = R$. Значит $\angle OMN = \angle ONM = 4\alpha$.
Сумма углов в треугольнике: $\angle MON + \angle OMN + \angle ONM = 180^\circ$.
$\alpha + 4\alpha + 4\alpha = 180^\circ$.
$9\alpha = 180^\circ$.
$\alpha = 20^\circ$.
Центральный угол правильного многоугольника $\alpha_{cent} = \angle MON = 20^\circ$.
$n = \frac{360^\circ}{\alpha_{cent}} = \frac{360^\circ}{20^\circ} = 18$. Это правильный восемнадцатиугольник.
R-?
Сторона $a = 2R \sin(\frac{\alpha_{cent}}{2})$.
$6 = 2R \sin(\frac{20^\circ}{2}) = 2R \sin(10^\circ)$.
$R = \frac{6}{2 \sin(10^\circ)} = \frac{3}{\sin(10^\circ)}$.
r-?
Радиус вписанной окружности $r = R \cos(\frac{\alpha_{cent}}{2})$.
$r = \frac{3}{\sin(10^\circ)} \cos(10^\circ) = \frac{3}{\tan(10^\circ)}$.
S-?
Площадь $S = \frac{1}{2} n a r$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 6 \cdot \frac{3}{\tan(10^\circ)} = 54 \cdot \frac{3}{\tan(10^\circ)} = \frac{162}{\tan(10^\circ)}$.
Можно также записать как $S = 162 \cot(10^\circ)$.

Ответ:
$n=18$
$R=\frac{3}{\sin(10^\circ)}$
$r=\frac{3}{\tan(10^\circ)}$
$S=\frac{162}{\tan(10^\circ)}$

9)

Дано:
Правильный треугольник.
Радиус вписанной окружности $r = OD = 3$.

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$a-?$
$R-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Это правильный треугольник, значит $n=3$.
a-?
Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Подставляем данные: $3 = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
$18 = a\sqrt{3}$.
$a = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$.
R-?
Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R = 2r$.
$R = 2 \cdot 3 = 6$.
S-?
Площадь правильного треугольника $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S = \frac{(6\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{108\sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}$.

Ответ:
$a=6\sqrt{3}$
$R=6$
$S=27\sqrt{3}$

10)

Дано:
Правильный треугольник.
Радиус описанной окружности $R = PM = 12$.

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$a-?$
$r-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Это правильный треугольник, значит $n=3$.
a-?
Для правильного треугольника сторона $a = R\sqrt{3}$.
$a = 12\sqrt{3}$.
r-?
Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r = \frac{R}{2}$.
$r = \frac{12}{2} = 6$.
S-?
Площадь правильного треугольника $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S = \frac{(12\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{432\sqrt{3}}{4} = 108\sqrt{3}$.

Ответ:
$a=12\sqrt{3}$
$r=6$
$S=108\sqrt{3}$

11)

Дано:
Квадрат.
Радиус описанной окружности $R = OA = 4$.

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$a-?$
$r-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Это квадрат, значит $n=4$.
a-?
Для квадрата сторона $a = R\sqrt{2}$.
$a = 4\sqrt{2}$.
r-?
Для квадрата радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2}$.
$r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
S-?
Площадь квадрата $S = a^2$.
$S = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.

Ответ:
$a=4\sqrt{2}$
$r=2\sqrt{2}$
$S=32$

12)

Дано:
Квадрат.
Радиус вписанной окружности $r = OK = 2$.

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$a-?$
$R-?$
$S-?$

Решение:
n-?
Это квадрат, значит $n=4$.
a-?
Для квадрата радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2}$.
$2 = \frac{a}{2}$.
$a = 4$.
R-?
Для квадрата радиус описанной окружности $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
$R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
S-?
Площадь квадрата $S = a^2$.
$S = 4^2 = 16$.

Ответ:
$a=4$
$R=2\sqrt{2}$
$S=16$

13)

Дано:
Правильный шестиугольник.
Длинная диагональ $FC = 5$.

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$a-?$
$r-?$
$S-?$
$FC-?$
$CE-?$

Решение:
n-?
Это правильный шестиугольник, значит $n=6$.
R-?
Для правильного шестиугольника длинная диагональ $FC$ проходит через центр и равна $2R$.
$2R = 5 \implies R = 2.5$.
a-?
Для правильного шестиугольника сторона $a = R$.
$a = 2.5$.
r-?
Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$r = \frac{2.5\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{4}$.
S-?
Площадь правильного шестиугольника $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.
$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2.5)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 6.25 = \frac{18.75\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{8}$.
FC-?
$FC = 2R = 2 \cdot 2.5 = 5$. (Соответствует заданному значению).
CE-?
$CE$ - это короткая диагональ правильного шестиугольника. Она равна $a\sqrt{3}$.
$CE = 2.5\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:
$a=2.5$
$r=\frac{5\sqrt{3}}{4}$
$S=\frac{75\sqrt{3}}{8}$
$FC=5$
$CE=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

14)

Дано:
Правильный шестиугольник.
Радиус вписанной окружности $r = OK = 3$.

Перевод в систему СИ:
Не применимо, так как единицы измерения не указаны.

Найти:
$a-?$
$R-?$
$S-?$
$FC-?$
$CE-?$

Решение:
n-?
Это правильный шестиугольник, значит $n=6$.
a-?
Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем данные: $3 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$6 = a\sqrt{3}$.
$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
R-?
Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности $R = a$.
$R = 2\sqrt{3}$.
S-?
Площадь правильного шестиугольника $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.
$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (4 \cdot 3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 18\sqrt{3}$.
FC-?
$FC$ - длинная диагональ правильного шестиугольника, равная $2R$.
$FC = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
CE-?
$CE$ - короткая диагональ правильного шестиугольника, равная $a\sqrt{3}$.
$CE = (2\sqrt{3})\sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ:
$a=2\sqrt{3}$
$R=2\sqrt{3}$
$S=18\sqrt{3}$
$FC=4\sqrt{3}$
$CE=6$