Номер 3, страница 226 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Найдите неизвестные элементы:

1)

$x - ? $

2)

$x - ? $

3)

$AC - ? BD - ? $

4)

$AC - ? BD - ? $

5)

$AC : BC = 7 : 8, \angle C = 120^\circ $

$x - ? y - ? $

6)

$x - ? $

1) Дано: треугольник со сторонами $a=16$, $b=7$. Медиана (или отрезок, делящий сторону) $x$ проведен к стороне $a$. Угол между стороной $b$ и стороной $a$ равен $60^\circ$. На изображении видно, что отрезок $x$ делит сторону $16$ на две равные части. Таким образом, в рассматриваемом треугольнике стороны $7$ и $16/2 = 8$, а угол между ними $60^\circ$.
Найти: $x$
Решение:
Применим теорему косинусов для нахождения стороны $x$ в треугольнике со сторонами $7$ и $8$ и углом между ними $60^\circ$:
$x^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$
$x^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \frac{1}{2}$
$x^2 = 113 - 56$
$x^2 = 57$
$x = \sqrt{57}$
Ответ: $\sqrt{57}$

2) Дано: треугольник со сторонами $a=14$ и $b=12$. Угол между этими сторонами равен $120^\circ$. Неизвестная сторона $x$ лежит напротив угла $120^\circ$. (Знаки на стороне $x$ и стороне $12$ в данном контексте, скорее всего, означают, что $x$ является искомой третьей стороной, а не что $x=12$, иначе задача была бы тривиальной и остальные данные были бы излишни).
Найти: $x$
Решение:
Применим теорему косинусов для нахождения стороны $x$ в треугольнике:
$x^2 = 14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)$
$x^2 = 196 + 144 - 336 \cdot (-\frac{1}{2})$
$x^2 = 340 + 168$
$x^2 = 508$
$x = \sqrt{508} = \sqrt{4 \cdot 127} = 2\sqrt{127}$
Ответ: $2\sqrt{127}$

3) Дано: четырехугольник $ABCD$. Сторона $AB = 12$, сторона $AD = 14$. Угол $ADC = 120^\circ$. По виду фигуры предполагаем, что $ABCD$ является параллелограммом.
Если $ABCD$ параллелограмм, то $AB = CD = 12$ и $AD = BC = 14$. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$.
Значит, $\angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Найти: $AC$, $BD$
Решение:
1. Для нахождения диагонали $AC$ рассмотрим треугольник $ADC$.
Применим теорему косинусов:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC)$
$AC^2 = 14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)$
$AC^2 = 196 + 144 - 336 \cdot (-\frac{1}{2})$
$AC^2 = 340 + 168$
$AC^2 = 508$
$AC = \sqrt{508} = 2\sqrt{127}$
2. Для нахождения диагонали $BD$ рассмотрим треугольник $ABD$.
Применим теорему косинусов:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$
$BD^2 = 12^2 + 14^2 - 2 \cdot 12 \cdot 14 \cdot \cos(60^\circ)$
$BD^2 = 144 + 196 - 336 \cdot \frac{1}{2}$
$BD^2 = 340 - 168$
$BD^2 = 172$
$BD = \sqrt{172} = \sqrt{4 \cdot 43} = 2\sqrt{43}$
Ответ: $AC = 2\sqrt{127}$, $BD = 2\sqrt{43}$

4) Дано: четырехугольник $ABCD$. Сторона $AB = 12$, сторона $AD = 18$. Угол $B = 120^\circ$, угол $D = 60^\circ$.
Поскольку $\angle B + \angle D = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$, и эти углы являются противоположными, это может быть вписанный четырехугольник. Однако, если предположить, что $ABCD$ - трапеция, и $AB \parallel CD$, то сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.
Тогда $\angle A + \angle D = 180^\circ \implies \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
И $\angle B + \angle C = 180^\circ \implies \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Углы при основании $AD$ равны $120^\circ$ и $60^\circ$. Углы при основании $BC$ равны $120^\circ$ и $60^\circ$. Углы при основаниях $AB$ и $CD$ равны. Углы $\angle A = \angle B = 120^\circ$ и $\angle C = \angle D = 60^\circ$. Это является свойством равнобедренной трапеции, где $AD$ и $BC$ - боковые стороны, $AB$ и $CD$ - основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, т.е. $AD = BC = 18$. Диагонали также равны: $AC = BD$.
Найти: $AC$, $BD$
Решение:
1. Найдем длину диагонали $BD$. Рассмотрим треугольник $ABD$.
Применим теорему косинусов к треугольнику $ABD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$
$BD^2 = 12^2 + 18^2 - 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot \cos(120^\circ)$
$BD^2 = 144 + 324 - 432 \cdot (-\frac{1}{2})$
$BD^2 = 468 + 216$
$BD^2 = 684$
$BD = \sqrt{684} = \sqrt{36 \cdot 19} = 6\sqrt{19}$
2. Поскольку $ABCD$ является равнобедренной трапецией ($AB \parallel CD$, $AD = BC$), то её диагонали равны.
Значит, $AC = BD = 6\sqrt{19}$.
(Для проверки, можно найти $CD$. Проведем высоты из $A$ и $B$ на $CD$. Пусть они будут $AF$ и $BE$. В прямоугольном треуголь $AFD$: $FD = AD \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$. В прямоугольном треугольнике $BEC$: $CE = BC \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$. Так как $ABEF$ - прямоугольник, $EF = AB = 12$. Тогда $CD = FD + EF + CE = 9 + 12 + 9 = 30$.)
Ответ: $AC = 6\sqrt{19}$, $BD = 6\sqrt{19}$

5) Дано: треугольник $ABC$. Сторона $AB = 26$. Угол $C = 120^\circ$. Сторона $AC = x$, сторона $BC = y$. Дано соотношение сторон $AC : BC = 7 : 8$.
Найти: $x$, $y$
Решение:
Из соотношения $AC : BC = 7 : 8$ можем записать $AC = 7k$ и $BC = 8k$ для некоторого коэффициента $k$.
Тогда $x = 7k$ и $y = 8k$.
Применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$ для стороны $AB$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
$26^2 = (7k)^2 + (8k)^2 - 2 \cdot (7k) \cdot (8k) \cdot \cos(120^\circ)$
$676 = 49k^2 + 64k^2 - 112k^2 \cdot (-\frac{1}{2})$
$676 = 113k^2 + 56k^2$
$676 = 169k^2$
$k^2 = \frac{676}{169}$
$k^2 = 4$
$k = 2$ (поскольку длина должна быть положительной)
Теперь найдем $x$ и $y$:
$x = AC = 7k = 7 \cdot 2 = 14$
$y = BC = 8k = 8 \cdot 2 = 16$
Ответ: $x = 14$, $y = 16$

6) Дано: треугольник со сторонами $a = \sqrt{13}$, $b = 4$, $c = x$. Угол между сторонами $b$ и $c$ равен $60^\circ$. Сторона $a = \sqrt{13}$ лежит напротив угла $60^\circ$.
Найти: $x$
Решение:
Применим теорему косинусов для стороны $\sqrt{13}$:
$(\sqrt{13})^2 = 4^2 + x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x \cdot \cos(60^\circ)$
$13 = 16 + x^2 - 8x \cdot \frac{1}{2}$
$13 = 16 + x^2 - 4x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x + 16 - 13 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней или разложить на множители:
$(x-1)(x-3) = 0$
Возможные значения для $x$: $x_1 = 1$ или $x_2 = 3$.
Оба значения являются положительными и удовлетворяют неравенству треугольника для данных сторон ($\sqrt{13} \approx 3.6$), поэтому оба решения являются геометрически допустимыми.
1) Если $x=1$: стороны $(1, 4, \sqrt{13})$. $1+4 > \sqrt{13}$ (True), $1+\sqrt{13} > 4$ (True), $4+\sqrt{13} > 1$ (True).
2) Если $x=3$: стороны $(3, 4, \sqrt{13})$. $3+4 > \sqrt{13}$ (True), $3+\sqrt{13} > 4$ (True), $4+\sqrt{13} > 3$ (True).
Ответ: $x = 1$ или $x = 3$