Номер 2, страница 225 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Заполните таблицу:

$a$: 1) 12, 3) 20, 4) 6, 5) 18, 6) 21

$b$: 1) 5, 2) 27, 4) 8, 5) 12

$c$: 2) 9, 3) 24, 6) 25

$\alpha$: 1) $120^\circ$, 5) $72^\circ$

$\beta$: 2) $60^\circ$, 4) $30^\circ$

$\gamma$: 3) $140^\circ$, 6) $100^\circ$

$R$

1)

Дано:
Сторона $a = 12$
Сторона $b = 5$
Угол $\alpha = 120^\circ$

Найти:
Сторона $c$
Угол $\beta$
Угол $\gamma$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\beta$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
$\frac{12}{\sin 120^\circ} = \frac{5}{\sin \beta}$
$\sin \beta = \frac{5 \sin 120^\circ}{12} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{12} = \frac{5\sqrt{3}}{24}$
$\beta = \arcsin\left(\frac{5\sqrt{3}}{24}\right) \approx \arcsin(0.3608) \approx 21.16^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 120^\circ - 21.16^\circ = 38.84^\circ$
Используем закон синусов для нахождения стороны $c$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{12}{\sin 120^\circ} = \frac{c}{\sin 38.84^\circ}$
$c = \frac{12 \sin 38.84^\circ}{\sin 120^\circ} \approx \frac{12 \cdot 0.627}{0.866} \approx 8.69$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{a}{\sin \alpha}$
$R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{12}{2 \sin 120^\circ} = \frac{12}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6.93$

Ответ: $c \approx 8.69$, $\beta \approx 21.16^\circ$, $\gamma \approx 38.84^\circ$, $R \approx 6.93$

2)

Дано:
Сторона $b = 27$
Сторона $c = 9$
Угол $\beta = 60^\circ$

Найти:
Сторона $a$
Угол $\alpha$
Угол $\gamma$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\gamma$:
$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{27}{\sin 60^\circ} = \frac{9}{\sin \gamma}$
$\sin \gamma = \frac{9 \sin 60^\circ}{27} = \frac{\sin 60^\circ}{3} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
$\gamma = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) \approx \arcsin(0.2887) \approx 16.78^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 60^\circ - 16.78^\circ = 103.22^\circ$
Используем закон синусов для нахождения стороны $a$:
$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha}$
$\frac{27}{\sin 60^\circ} = \frac{a}{\sin 103.22^\circ}$
$a = \frac{27 \sin 103.22^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{27 \cdot 0.973}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 30.34$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{b}{\sin \beta}$
$R = \frac{b}{2 \sin \beta} = \frac{27}{2 \sin 60^\circ} = \frac{27}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{27}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3} \approx 15.59$

Ответ: $a \approx 30.34$, $\alpha \approx 103.22^\circ$, $\gamma \approx 16.78^\circ$, $R \approx 15.59$

3)

Дано:
Сторона $a = 20$
Сторона $c = 24$
Угол $\gamma = 140^\circ$

Найти:
Сторона $b$
Угол $\alpha$
Угол $\beta$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\alpha$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{20}{\sin \alpha} = \frac{24}{\sin 140^\circ}$
$\sin \alpha = \frac{20 \sin 140^\circ}{24} = \frac{5 \sin 40^\circ}{6}$
$\sin \alpha \approx \frac{5 \cdot 0.6428}{6} \approx 0.5357$
$\alpha = \arcsin(0.5357) \approx 32.39^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 32.39^\circ - 140^\circ = 7.61^\circ$
Используем закон косинусов для нахождения стороны $b$:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$
$b^2 = 20^2 + 24^2 - 2 \cdot 20 \cdot 24 \cdot \cos 7.61^\circ$
$b^2 = 400 + 576 - 960 \cos 7.61^\circ$
$b^2 = 976 - 960 \cdot 0.9913 \approx 976 - 951.648 = 24.352$
$b = \sqrt{24.352} \approx 4.94$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{c}{\sin \gamma}$
$R = \frac{c}{2 \sin \gamma} = \frac{24}{2 \sin 140^\circ} = \frac{12}{\sin 40^\circ} \approx \frac{12}{0.6428} \approx 18.67$

Ответ: $b \approx 4.94$, $\alpha \approx 32.39^\circ$, $\beta \approx 7.61^\circ$, $R \approx 18.67$

4)

Дано:
Сторона $a = 6$
Сторона $b = 8$
Угол $\beta = 30^\circ$

Найти:
Сторона $c$
Угол $\alpha$
Угол $\gamma$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\alpha$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
$\frac{6}{\sin \alpha} = \frac{8}{\sin 30^\circ}$
$\sin \alpha = \frac{6 \sin 30^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 0.5}{8} = \frac{3}{8} = 0.375$
$\alpha = \arcsin(0.375) \approx 22.02^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 22.02^\circ - 30^\circ = 127.98^\circ$
Используем закон синусов для нахождения стороны $c$:
$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 127.98^\circ}$
$c = \frac{8 \sin 127.98^\circ}{\sin 30^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.7883}{0.5} \approx 12.61$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{b}{\sin \beta}$
$R = \frac{b}{2 \sin \beta} = \frac{8}{2 \sin 30^\circ} = \frac{8}{2 \cdot 0.5} = \frac{8}{1} = 8$

Ответ: $c \approx 12.61$, $\alpha \approx 22.02^\circ$, $\gamma \approx 127.98^\circ$, $R = 8$

5)

Дано:
Сторона $a = 18$
Сторона $b = 12$
Угол $\alpha = 72^\circ$

Найти:
Сторона $c$
Угол $\beta$
Угол $\gamma$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\beta$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
$\frac{18}{\sin 72^\circ} = \frac{12}{\sin \beta}$
$\sin \beta = \frac{12 \sin 72^\circ}{18} = \frac{2 \sin 72^\circ}{3}$
$\sin \beta \approx \frac{2 \cdot 0.9511}{3} \approx 0.6341$
$\beta = \arcsin(0.6341) \approx 39.37^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 72^\circ - 39.37^\circ = 68.63^\circ$
Используем закон синусов для нахождения стороны $c$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{18}{\sin 72^\circ} = \frac{c}{\sin 68.63^\circ}$
$c = \frac{18 \sin 68.63^\circ}{\sin 72^\circ} \approx \frac{18 \cdot 0.9314}{0.9511} \approx 17.63$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{a}{\sin \alpha}$
$R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{18}{2 \sin 72^\circ} = \frac{9}{\sin 72^\circ} \approx \frac{9}{0.9511} \approx 9.46$

Ответ: $c \approx 17.63$, $\beta \approx 39.37^\circ$, $\gamma \approx 68.63^\circ$, $R \approx 9.46$

6)

Дано:
Сторона $a = 21$
Сторона $c = 25$
Угол $\gamma = 100^\circ$

Найти:
Сторона $b$
Угол $\alpha$
Угол $\beta$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\alpha$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{21}{\sin \alpha} = \frac{25}{\sin 100^\circ}$
$\sin \alpha = \frac{21 \sin 100^\circ}{25}$
$\sin \alpha \approx \frac{21 \cdot 0.9848}{25} \approx 0.8272$
$\alpha = \arcsin(0.8272) \approx 55.80^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 55.80^\circ - 100^\circ = 24.20^\circ$
Используем закон косинусов для нахождения стороны $b$:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$
$b^2 = 21^2 + 25^2 - 2 \cdot 21 \cdot 25 \cdot \cos 24.20^\circ$
$b^2 = 441 + 625 - 1050 \cos 24.20^\circ$
$b^2 = 1066 - 1050 \cdot 0.912 \approx 1066 - 957.6 = 108.4$
$b = \sqrt{108.4} \approx 10.41$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{c}{\sin \gamma}$
$R = \frac{c}{2 \sin \gamma} = \frac{25}{2 \sin 100^\circ} = \frac{12.5}{\sin 100^\circ} \approx \frac{12.5}{0.9848} \approx 12.69$

Ответ: $b \approx 10.41$, $\alpha \approx 55.80^\circ$, $\beta \approx 24.20^\circ$, $R \approx 12.69$