Номер 2, страница 226 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Заполните таблицу:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

a 15 7 15 5 80 8

b 13 4 14 5 65 35

c 4 5 13 6 17 29

$\alpha$

$\beta$

$\gamma$

S

1)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 15$, $b = 13$, $c = 4$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 15+13 > 4 \implies 28 > 4$ (истинно)

$a+c > b \implies 15+4 > 13 \implies 19 > 13$ (истинно)

$b+c > a \implies 13+4 > 15 \implies 17 > 15$ (истинно)

Треугольник существует.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{13^2 + 4^2 - 15^2}{2 \cdot 13 \cdot 4} = \frac{169 + 16 - 225}{104} = \frac{185 - 225}{104} = \frac{-40}{104} = -\frac{5}{13} \approx -0.3846$

$\alpha = \arccos\left(-\frac{5}{13}\right) \approx 112.62^\circ$

Для угла $\beta$ (напротив стороны $b$):

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{15^2 + 4^2 - 13^2}{2 \cdot 15 \cdot 4} = \frac{225 + 16 - 169}{120} = \frac{241 - 169}{120} = \frac{72}{120} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\beta = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \approx 53.13^\circ$

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{15^2 + 13^2 - 4^2}{2 \cdot 15 \cdot 13} = \frac{225 + 169 - 16}{390} = \frac{394 - 16}{390} = \frac{378}{390} = \frac{63}{65} \approx 0.9692$

$\gamma = \arccos\left(\frac{63}{65}\right) \approx 14.25^\circ$

Проверка суммы углов: $112.62^\circ + 53.13^\circ + 14.25^\circ = 180^\circ$.

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15+13+4}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{16(16-15)(16-13)(16-4)}$

$S = \sqrt{16 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 12} = \sqrt{576} = 24$

Ответ:

$\alpha \approx 112.62^\circ$, $\beta \approx 53.13^\circ$, $\gamma \approx 14.25^\circ$, $S = 24$.

2)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 7$, $b = 4$, $c = 5$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 7+4 > 5 \implies 11 > 5$ (истинно)

$a+c > b \implies 7+5 > 4 \implies 12 > 4$ (истинно)

$b+c > a \implies 4+5 > 7 \implies 9 > 7$ (истинно)

Треугольник существует.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 49}{40} = \frac{41 - 49}{40} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5} = -0.2$

$\alpha = \arccos\left(-\frac{1}{5}\right) \approx 101.54^\circ$

Для угла $\beta$ (напротив стороны $b$):

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 16}{70} = \frac{74 - 16}{70} = \frac{58}{70} = \frac{29}{35} \approx 0.8286$

$\beta = \arccos\left(\frac{29}{35}\right) \approx 34.05^\circ$

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 4^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 4} = \frac{49 + 16 - 25}{56} = \frac{65 - 25}{56} = \frac{40}{56} = \frac{5}{7} \approx 0.7143$

$\gamma = \arccos\left(\frac{5}{7}\right) \approx 44.42^\circ$

Проверка суммы углов: $101.54^\circ + 34.05^\circ + 44.42^\circ = 180.01^\circ$ (разница из-за округления).

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+4+5}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{8(8-7)(8-4)(8-5)}$

$S = \sqrt{8 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \approx 9.798$

Ответ:

$\alpha \approx 101.54^\circ$, $\beta \approx 34.05^\circ$, $\gamma \approx 44.42^\circ$, $S = 4\sqrt{6} \approx 9.80$.

3)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 15$, $b = 14$, $c = 13$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 15+14 > 13 \implies 29 > 13$ (истинно)

$a+c > b \implies 15+13 > 14 \implies 28 > 14$ (истинно)

$b+c > a \implies 14+13 > 15 \implies 27 > 15$ (истинно)

Треугольник существует.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{14^2 + 13^2 - 15^2}{2 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{196 + 169 - 225}{364} = \frac{365 - 225}{364} = \frac{140}{364} = \frac{5}{13} \approx 0.3846$

$\alpha = \arccos\left(\frac{5}{13}\right) \approx 67.38^\circ$

Для угла $\beta$ (напротив стороны $b$):

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{15^2 + 13^2 - 14^2}{2 \cdot 15 \cdot 13} = \frac{225 + 169 - 196}{390} = \frac{394 - 196}{390} = \frac{198}{390} = \frac{33}{65} \approx 0.5077$

$\beta = \arccos\left(\frac{33}{65}\right) \approx 59.50^\circ$

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{15^2 + 14^2 - 13^2}{2 \cdot 15 \cdot 14} = \frac{225 + 196 - 169}{420} = \frac{421 - 169}{420} = \frac{252}{420} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\gamma = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \approx 53.13^\circ$

Проверка суммы углов: $67.38^\circ + 59.50^\circ + 53.13^\circ = 180.01^\circ$ (разница из-за округления).

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15+14+13}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{21(21-15)(21-14)(21-13)}$

$S = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} = \sqrt{7056} = 84$

Ответ:

$\alpha \approx 67.38^\circ$, $\beta \approx 59.50^\circ$, $\gamma \approx 53.13^\circ$, $S = 84$.

4)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 5$, $b = 5$, $c = 6$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 5+5 > 6 \implies 10 > 6$ (истинно)

$a+c > b \implies 5+6 > 5 \implies 11 > 5$ (истинно)

$b+c > a \implies 5+6 > 5 \implies 11 > 5$ (истинно)

Треугольник существует. Это равнобедренный треугольник, так как $a=b$. Значит, $\alpha = \beta$.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 25}{60} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \approx 53.13^\circ$

Поскольку $a=b$, то $\beta = \alpha \approx 53.13^\circ$.

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{25 + 25 - 36}{50} = \frac{50 - 36}{50} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} = 0.28$

$\gamma = \arccos\left(\frac{7}{25}\right) \approx 73.74^\circ$

Проверка суммы углов: $53.13^\circ + 53.13^\circ + 73.74^\circ = 180.00^\circ$.

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+5+6}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}$

$S = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12$

Ответ:

$\alpha \approx 53.13^\circ$, $\beta \approx 53.13^\circ$, $\gamma \approx 73.74^\circ$, $S = 12$.

5)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 80$, $b = 65$, $c = 17$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 80+65 > 17 \implies 145 > 17$ (истинно)

$a+c > b \implies 80+17 > 65 \implies 97 > 65$ (истинно)

$b+c > a \implies 65+17 > 80 \implies 82 > 80$ (истинно)

Треугольник существует.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{65^2 + 17^2 - 80^2}{2 \cdot 65 \cdot 17} = \frac{4225 + 289 - 6400}{2210} = \frac{4514 - 6400}{2210} = \frac{-1886}{2210} \approx -0.8534$

$\alpha = \arccos\left(-\frac{1886}{2210}\right) \approx 148.67^\circ$

Для угла $\beta$ (напротив стороны $b$):

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{80^2 + 17^2 - 65^2}{2 \cdot 80 \cdot 17} = \frac{6400 + 289 - 4225}{2720} = \frac{6689 - 4225}{2720} = \frac{2464}{2720} \approx 0.9059$

$\beta = \arccos\left(\frac{2464}{2720}\right) \approx 25.04^\circ$

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{80^2 + 65^2 - 17^2}{2 \cdot 80 \cdot 65} = \frac{6400 + 4225 - 289}{10400} = \frac{10625 - 289}{10400} = \frac{10336}{10400} \approx 0.9938$

$\gamma = \arccos\left(\frac{10336}{10400}\right) \approx 6.45^\circ$

Проверка суммы углов: $148.67^\circ + 25.04^\circ + 6.45^\circ = 180.16^\circ$ (разница из-за округления).

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{80+65+17}{2} = \frac{162}{2} = 81$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{81(81-80)(81-65)(81-17)}$

$S = \sqrt{81 \cdot 1 \cdot 16 \cdot 64} = \sqrt{82944} = 288$

Ответ:

$\alpha \approx 148.67^\circ$, $\beta \approx 25.04^\circ$, $\gamma \approx 6.45^\circ$, $S = 288$.

6)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 8$, $b = 35$, $c = 29$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 8+35 > 29 \implies 43 > 29$ (истинно)

$a+c > b \implies 8+29 > 35 \implies 37 > 35$ (истинно)

$b+c > a \implies 35+29 > 8 \implies 64 > 8$ (истинно)

Треугольник существует.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{35^2 + 29^2 - 8^2}{2 \cdot 35 \cdot 29} = \frac{1225 + 841 - 64}{2030} = \frac{2066 - 64}{2030} = \frac{2002}{2030} = \frac{1001}{1015} \approx 0.9862$

$\alpha = \arccos\left(\frac{1001}{1015}\right) \approx 9.59^\circ$

Для угла $\beta$ (напротив стороны $b$):

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{8^2 + 29^2 - 35^2}{2 \cdot 8 \cdot 29} = \frac{64 + 841 - 1225}{464} = \frac{905 - 1225}{464} = \frac{-320}{464} = -\frac{20}{29} \approx -0.6897$

$\beta = \arccos\left(-\frac{20}{29}\right) \approx 133.62^\circ$

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{8^2 + 35^2 - 29^2}{2 \cdot 8 \cdot 35} = \frac{64 + 1225 - 841}{560} = \frac{1289 - 841}{560} = \frac{448}{560} = \frac{4}{5} = 0.8$

$\gamma = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) \approx 36.87^\circ$

Проверка суммы углов: $9.59^\circ + 133.62^\circ + 36.87^\circ = 180.08^\circ$ (разница из-за округления).

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+35+29}{2} = \frac{72}{2} = 36$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{36(36-8)(36-35)(36-29)}$

$S = \sqrt{36 \cdot 28 \cdot 1 \cdot 7} = \sqrt{7056} = 84$

Ответ:

$\alpha \approx 9.59^\circ$, $\beta \approx 133.62^\circ$, $\gamma \approx 36.87^\circ$, $S = 84$.