Номер 2, страница 230 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Найдите неизвестные элементы:

1)

$AO = 3, CO = 4, DO = 6$

$BO - ?$

$AO \cdot OC = BO \cdot OD$

2)

$AO = 12, BO = 4, DO = 8$

$OC - ?$

$AO \cdot OB = CO \cdot OD$

3)

$MO = 4, OK = 2, KE = 7$

$ON - ?$

$MO \cdot OK = EO \cdot ON$

$KE = EO + OK$

4)

$ST = 3, TK = 6, EK = 10$

$ET - ?$

$ET \cdot TF = ST \cdot TK$

$EK = ET + TK$

5)

$CO = 4, DO = 6, BO - AO = 5$

$AO - ? BO - ?$

$AO \cdot OC = BO \cdot OD$

6)

$KD = 5, CD = 17, KB - AK = 4$

$AK - ? KB - ?$

$AK \cdot KD = CK \cdot KB$

7)

$CO = 4, DO = 12, AO : OB = 4 : 3$

$AB - ?$

$AO \cdot OC = BO \cdot OD$

8)

$AO = 9, DO = 4, BO : OD = 1 : 4$

$BD - ?$

$AO \cdot OC = BO \cdot OD$

$BD = BO + OD$

9)

$AO : OB = 1 : 6, CO : OD = 1 : 3, BO - AO = 20$

$CO - ? BO - ?$

$AO \cdot OB = CO \cdot OD$

10)

$DO - CO = 11, AO + OB = 16, AO : OB = 5 : 3$

$CO - ? OB - ?$

$AO \cdot OB = CO \cdot OD$

1)

Дано:

$AO = 3$

$CO = 4$

$OD = 6$

Найти:

$BO - ?$

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

То есть, $AO \cdot BO = CO \cdot OD$.

Подставим известные значения:

$3 \cdot BO = 4 \cdot 6$

$3 \cdot BO = 24$

$BO = \frac{24}{3}$

$BO = 8$

Ответ:

$BO = 8$

2)

Дано:

$AO = 12$

$BO = 4$

$OD = 8$

Найти:

$OC - ?$

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах, $AO \cdot BO = CO \cdot OD$.

Подставим известные значения:

$12 \cdot 4 = CO \cdot 8$

$48 = CO \cdot 8$

$CO = \frac{48}{8}$

$CO = 6$

Ответ:

$OC = 6$

3)

Дано:

$MO = 4$

$OK = 2$

Предполагается, что $KE=7$ является опечаткой и на самом деле должно быть $EO=7$, так как в противном случае задача не может быть решена с использованием только теоремы о пересекающихся хордах. В рамках данного решения принимаем $EO=7$.

$EO = 7$

Найти:

$ON - ?$

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах, $MO \cdot OK = EO \cdot ON$.

Подставим известные значения:

$4 \cdot 2 = 7 \cdot ON$

$8 = 7 \cdot ON$

$ON = \frac{8}{7}$

Ответ:

$ON = \frac{8}{7}$

4)

Дано:

$ST = 3$

$TK = 6$

$EK = 10$

Найти:

$ET - ?$

Решение:

На изображении хорды $SF$ и $EK$ пересекаются в точке $T$.

Из условия $EK = 10$ и того, что точка $T$ находится между $E$ и $K$ на хорде $EK$, имеем:

$ET + TK = EK$

$ET + 6 = 10$

$ET = 10 - 6$

$ET = 4$

Ответ:

$ET = 4$

5)

Дано:

$CO = 4$

$DO = 6$

$BO - AO = 5$

Найти:

$AO - ?$

$BO - ?$

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах, $AO \cdot BO = CO \cdot DO$.

Подставим известные значения $CO$ и $DO$:

$AO \cdot BO = 4 \cdot 6$

$AO \cdot BO = 24$

У нас также есть второе уравнение: $BO - AO = 5$.

Из второго уравнения выразим $BO$: $BO = AO + 5$.

Подставим это выражение для $BO$ в первое уравнение:

$AO \cdot (AO + 5) = 24$

$AO^2 + 5 \cdot AO - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.

$AO = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 \pm 11}{2}$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, берем положительный корень:

$AO = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь найдем $BO$:

$BO = AO + 5 = 3 + 5 = 8$

Ответ:

$AO = 3$, $BO = 8$

6)

Дано:

$KD = 5$

$CD = 17$

$KB - AK = 4$

Найти:

$AK - ?$

$KB - ?$

Решение:

Хорда $CD$ состоит из отрезков $CK$ и $KD$. Следовательно:

$CK + KD = CD$

$CK + 5 = 17$

$CK = 17 - 5 = 12$

По теореме о пересекающихся хордах, $AK \cdot KB = CK \cdot KD$.

Подставим известные значения $CK$ и $KD$:

$AK \cdot KB = 12 \cdot 5$

$AK \cdot KB = 60$

У нас также есть второе уравнение: $KB - AK = 4$.

Из второго уравнения выразим $KB$: $KB = AK + 4$.

Подставим это выражение для $KB$ в первое уравнение:

$AK \cdot (AK + 4) = 60$

$AK^2 + 4 \cdot AK - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$.

$AK = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-4 \pm 16}{2}$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, берем положительный корень:

$AK = \frac{-4 + 16}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь найдем $KB$:

$KB = AK + 4 = 6 + 4 = 10$

Ответ:

$AK = 6$, $KB = 10$

7)

Дано:

$CO = 4$

$OD = 12$

$AO : OB = 4 : 3$

Найти:

$AB - ?$

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах, $AO \cdot OB = CO \cdot OD$.

Подставим известные значения $CO$ и $OD$:

$AO \cdot OB = 4 \cdot 12$

$AO \cdot OB = 48$

Из соотношения $AO : OB = 4 : 3$, пусть $AO = 4x$ и $OB = 3x$ для некоторого $x > 0$.

Подставим эти выражения в уравнение произведения:

$(4x) \cdot (3x) = 48$

$12x^2 = 48$

$x^2 = \frac{48}{12}$

$x^2 = 4$

$x = 2$ (так как $x$ - это масштабный коэффициент для длины, он должен быть положительным)

Теперь найдем $AO$ и $OB$:

$AO = 4x = 4 \cdot 2 = 8$

$OB = 3x = 3 \cdot 2 = 6$

Длина хорды $AB$ состоит из отрезков $AO$ и $OB$:

$AB = AO + OB$

$AB = 8 + 6 = 14$

Ответ:

$AB = 14$

8)

Дано:

$AO = 9$

$CO = 4$

$BO : OD = 1 : 4$

Найти:

$BD - ?$

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах, $AO \cdot CO = BO \cdot OD$.

Подставим известные значения $AO$ и $CO$:

$9 \cdot 4 = BO \cdot OD$

$36 = BO \cdot OD$

Из соотношения $BO : OD = 1 : 4$, это означает, что $OD = 4 \cdot BO$.

Подставим это выражение для $OD$ в уравнение произведения:

$36 = BO \cdot (4 \cdot BO)$

$36 = 4 \cdot BO^2$

$BO^2 = \frac{36}{4}$

$BO^2 = 9$

$BO = 3$ (так как длина отрезка не может быть отрицательной)

Теперь найдем $OD$:

$OD = 4 \cdot BO = 4 \cdot 3 = 12$

Длина хорды $BD$ состоит из отрезков $BO$ и $OD$:

$BD = BO + OD$

$BD = 3 + 12 = 15$

Ответ:

$BD = 15$

9)

Дано:

$AO : OB = 1 : 6$

$CO : OD = 1 : 3$

$BO - AO = 20$

Найти:

$CO - ?$

$BO - ?$

Решение:

Из соотношения $AO : OB = 1 : 6$, пусть $AO = x$ и $OB = 6x$.

Из условия $BO - AO = 20$, подставим $AO$ и $OB$:

$6x - x = 20$

$5x = 20$

$x = 4$

Теперь найдем длины $AO$ и $BO$:

$AO = x = 4$

$BO = 6x = 6 \cdot 4 = 24$

По теореме о пересекающихся хордах, $AO \cdot BO = CO \cdot OD$.

Подставим найденные значения $AO$ и $BO$:

$4 \cdot 24 = CO \cdot OD$

$96 = CO \cdot OD$

Из соотношения $CO : OD = 1 : 3$, пусть $CO = y$ и $OD = 3y$.

Подставим эти выражения в уравнение произведения:

$96 = y \cdot (3y)$

$96 = 3y^2$

$y^2 = \frac{96}{3}$

$y^2 = 32$

$y = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ (так как длина отрезка не может быть отрицательной)

Теперь найдем $CO$ и $OD$:

$CO = y = 4\sqrt{2}$

$OD = 3y = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

Ответ:

$CO = 4\sqrt{2}$, $BO = 24$

10)

Дано:

$DO - CO = 11$

$AO + OB = 16$

$AO : OB = 5 : 3$

Найти:

$CO - ?$

$OB - ?$

Решение:

Из соотношения $AO : OB = 5 : 3$, пусть $AO = 5x$ и $OB = 3x$.

Из условия $AO + OB = 16$, подставим $AO$ и $OB$:

$5x + 3x = 16$

$8x = 16$

$x = 2$

Теперь найдем длины $AO$ и $OB$:

$AO = 5x = 5 \cdot 2 = 10$

$OB = 3x = 3 \cdot 2 = 6$

По теореме о пересекающихся хордах, $AO \cdot OB = CO \cdot OD$.

Подставим найденные значения $AO$ и $OB$:

$10 \cdot 6 = CO \cdot OD$

$60 = CO \cdot OD$

У нас также есть второе уравнение: $DO - CO = 11$.

Из второго уравнения выразим $OD$: $OD = CO + 11$.

Подставим это выражение для $OD$ в уравнение произведения:

$60 = CO \cdot (CO + 11)$

$60 = CO^2 + 11 \cdot CO$

$CO^2 + 11 \cdot CO - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 121 + 240 = 361$.

$CO = \frac{-11 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-11 \pm 19}{2}$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, берем положительный корень:

$CO = \frac{-11 + 19}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ:

$CO = 4$, $OB = 6$