Номер 1, страница 236 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Выразите векторы через $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $ABCD$ – параллелограмм:

$\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DC} = \vec{b}$

$\vec{BD} - ?$

$\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$

$\vec{CD} - ?$

$\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $DK = KC$

$\vec{BK} - ?$

$\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DC} = \vec{b}$, $AK = KB$, $BM : MC = 2 : 1$

$\vec{KM} - ?$

BD - ?

Дано:
ABCD - параллелограмм.
$\vec{DA} = \vec{a}$
$\vec{DC} = \vec{b}$

Найти:
$\vec{BD}$

Решение:
В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны по длине и параллельны, следовательно, векторы, соответствующие этим сторонам, либо равны, либо противоположны по направлению.
Поскольку $\vec{DA} = \vec{a}$, то вектор, направленный в противоположную сторону, будет $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$.
Вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$, так как это противоположные стороны параллелограмма. Значит, $\vec{AB} = \vec{b}$.
Рассмотрим треугольник ABD. По правилу сложения векторов (правило треугольника), вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, является их суммой:
$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$
Мы знаем, что $\vec{BA}$ - это вектор, противоположный $\vec{AB}$. Следовательно, $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{b}$.
Теперь подставим известные векторы в уравнение для $\vec{BD}$:
$\vec{BD} = -\vec{b} + (-\vec{a})$
$\vec{BD} = -\vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{BD} = -\vec{a} - \vec{b}$

CD - ?

Дано:
ABCD - параллелограмм.
$\vec{DA} = \vec{a}$
$\vec{DB} = \vec{b}$

Найти:
$\vec{CD}$

Решение:
В параллелограмме ABCD вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$ (они сонаправлены и равны по модулю).
Сначала найдем вектор $\vec{AB}$. Рассмотрим треугольник DAB. По правилу сложения векторов:
$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$
Выразим $\vec{AB}$ из этого уравнения:
$\vec{AB} = \vec{DB} - \vec{DA}$
Подставим известные векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DB} = \vec{b}$:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$
Теперь, так как $\vec{CD} = \vec{BA}$ и $\vec{BA} = -\vec{AB}$:
$\vec{CD} = -(\vec{b} - \vec{a})$
$\vec{CD} = \vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{CD} = \vec{a} - \vec{b}$

DK = KC; BK - ?

Дано:
ABCD - параллелограмм.
$\vec{DA} = \vec{a}$
$\vec{DB} = \vec{b}$
Точка $K$ - середина стороны $DC$ ($DK = KC$).

Найти:
$\vec{BK}$

Решение:
Для нахождения вектора $\vec{BK}$ воспользуемся правилом треугольника, применив его к $\triangle DBK$:
$\vec{BK} = \vec{BD} + \vec{DK}$
Сначала найдем вектор $\vec{BD}$. Из условия дано, что $\vec{DB} = \vec{b}$, следовательно, вектор $\vec{BD}$ будет ему противоположным: $\vec{BD} = -\vec{DB} = -\vec{b}$.
Теперь найдем вектор $\vec{DK}$. Поскольку $K$ - середина стороны $DC$, то $\vec{DK} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.
Для нахождения $\vec{DC}$ используем свойство параллелограмма: $\vec{DC} = \vec{AB}$.
В $\triangle DAB$ по правилу сложения векторов имеем: $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$.
Выразим $\vec{AB}$: $\vec{AB} = \vec{DB} - \vec{DA}$.
Подставим известные векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DB} = \vec{b}$: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.
Следовательно, $\vec{DC} = \vec{b} - \vec{a}$.
Теперь найдем $\vec{DK}$:
$\vec{DK} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$
Подставим найденные векторы $\vec{BD}$ и $\vec{DK}$ в выражение для $\vec{BK}$:
$\vec{BK} = -\vec{b} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$
$\vec{BK} = -\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$
$\vec{BK} = -\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$

Ответ: $\vec{BK} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

AK = KB, BM : MC = 2 : 1; KM - ?

Дано:
ABCD - параллелограмм.
$\vec{DA} = \vec{a}$
$\vec{DC} = \vec{b}$
Точка $K$ - середина стороны $AB$ ($AK = KB$).
Точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 2 : 1$.

Найти:
$\vec{KM}$

Решение:
Для нахождения вектора $\vec{KM}$ воспользуемся правилом треугольника, применив его к $\triangle KBM$:
$\vec{KM} = \vec{KB} + \vec{BM}$
Сначала выразим известные векторы сторон параллелограмма через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому:
$\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$
$\vec{BC} = \vec{AD}$. Так как $\vec{AD} = -\vec{DA}$, то $\vec{BC} = -\vec{a}$.
Найдем вектор $\vec{KB}$:
Так как $K$ - середина стороны $AB$, то $\vec{KB} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.
$\vec{KB} = \frac{1}{2}\vec{b}$
Найдем вектор $\vec{BM}$:
Точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 2 : 1$. Это означает, что длина отрезка $BM$ составляет $\frac{2}{3}$ от длины отрезка $BC$.
Следовательно, $\vec{BM} = \frac{2}{3}\vec{BC}$.
Подставим выражение для $\vec{BC}$:
$\vec{BM} = \frac{2}{3}(-\vec{a}) = -\frac{2}{3}\vec{a}$
Теперь подставим найденные векторы $\vec{KB}$ и $\vec{BM}$ в выражение для $\vec{KM}$:
$\vec{KM} = \frac{1}{2}\vec{b} + (-\frac{2}{3}\vec{a})$
$\vec{KM} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a}$

Ответ: $\vec{KM} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$