Номер 1, страница 233 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Найдите длину окружности (C) и длину дуг (l):

1)

$AB = 10; l_{CB} - ? l_{AC} - ? C - ?$

2)

$MN = 12; l_{MK} - ? l_{KN} - ? C - ?$

3)

$\triangle ABC$ - правильный, $BC = 2\sqrt{3}; l_{AC} - ? C - ?$

4)

$\triangle ABC$ - правильный, $AB = 3\sqrt{3}; l_{BC} - ? C - ?$

5)

$ABCD$ - квадрат, $BC = 2\sqrt{2}; l_{AD} - ? C - ?$

6)

$ABCD$ - квадрат, $AD = 6\sqrt{2}; l_{DC} - ? C - ?$

7)

$ABCDFE$ - правильный шестиугольник, $AB = 4; l_{FD} - ? C - ?$

8)

$ABCDFE$ - правильный шестиугольник, $BC = 5; l_{FE} - ? C - ?$

1)

Дано

Диаметр окружности $AB = 10$.

Центральный угол $\angle BOC = 45^\circ$.

Найти: $l_{CB}$, $l_{AC}$, $C$

Решение

1. Определим радиус окружности $R$. Поскольку $AB$ является диаметром, $R = AB/2 = 10/2 = 5$.

2. Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$. Подставим значение $R$: $C = 2\pi (5) = 10\pi$.

3. Длина дуги $l_{CB}$ вычисляется по формуле $l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$, где $\alpha$ - центральный угол, соответствующий дуге. Для дуги $CB$ центральный угол $\angle BOC = 45^\circ$.

$l_{CB} = \frac{45^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi (5) = \frac{1}{8} \cdot 10\pi = \frac{10\pi}{8} = \frac{5\pi}{4}$.

4. Для дуги $AC$ найдем центральный угол $\angle AOC$. Так как $AB$ - диаметр, угол $AOB$ составляет $180^\circ$. Значит, $\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

$l_{AC} = \frac{135^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi (5) = \frac{3}{8} \cdot 10\pi = \frac{30\pi}{8} = \frac{15\pi}{4}$.

Ответ: $l_{CB} = \frac{5\pi}{4}$, $l_{AC} = \frac{15\pi}{4}$, $C = 10\pi$

2)

Дано

Диаметр окружности $MN = 12$.

Центральный угол $\angle NOK = 60^\circ$.

Найти: $l_{MK}$, $l_{KN}$, $C$

Решение

1. Определим радиус окружности $R$. Поскольку $MN$ является диаметром, $R = MN/2 = 12/2 = 6$.

2. Длина окружности $C = 2\pi R = 2\pi (6) = 12\pi$.

3. Длина дуги $l_{KN}$ вычисляется по формуле $l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$. Для дуги $KN$ центральный угол $\angle NOK = 60^\circ$.

$l_{KN} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi (6) = \frac{1}{6} \cdot 12\pi = 2\pi$.

4. Для дуги $MK$ найдем центральный угол $\angle MOK$. Так как $MN$ - диаметр, угол $MON$ составляет $180^\circ$. Значит, $\angle MOK = \angle MON - \angle NOK = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$l_{MK} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi (6) = \frac{1}{3} \cdot 12\pi = 4\pi$.

Ответ: $l_{MK} = 4\pi$, $l_{KN} = 2\pi$, $C = 12\pi$

3)

Дано

$\triangle ABC$ - правильный (равносторонний) треугольник, вписанный в окружность.

Сторона $BC = 2\sqrt{3}$.

Найти: $l_{AC}$, $C$

Решение

1. Для правильного треугольника, вписанного в окружность, радиус описанной окружности $R$ связан со стороной треугольника $a$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. В данном случае $a = BC = 2\sqrt{3}$.

$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$.

2. Длина окружности $C = 2\pi R = 2\pi (2) = 4\pi$.

3. В правильном треугольнике все три стороны равны и стягивают равные дуги. Каждая дуга составляет $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$. Следовательно, центральный угол, соответствующий дуге $AC$, равен $120^\circ$.

$l_{AC} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \frac{1}{3} \cdot 2\pi (2) = \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $l_{AC} = \frac{4\pi}{3}$, $C = 4\pi$

4)

Дано

$\triangle ABC$ - правильный (равносторонний) треугольник, вписанный в окружность.

Сторона $AB = 3\sqrt{3}$.

Найти: $l_{BC}$, $C$

Решение

1. Для правильного треугольника, вписанного в окружность, радиус описанной окружности $R$ связан со стороной треугольника $a$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. В данном случае $a = AB = 3\sqrt{3}$.

$R = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$.

2. Длина окружности $C = 2\pi R = 2\pi (3) = 6\pi$.

3. В правильном треугольнике все три стороны равны и стягивают равные дуги. Каждая дуга составляет $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$. Следовательно, центральный угол, соответствующий дуге $BC$, равен $120^\circ$.

$l_{BC} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \frac{1}{3} \cdot 2\pi (3) = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$.

Ответ: $l_{BC} = 2\pi$, $C = 6\pi$

5)

Дано

$ABCD$ - квадрат, вписанный в окружность.

Сторона $BC = 2\sqrt{2}$.

Найти: $l_{AD}$, $C$

Решение

1. Для квадрата, вписанного в окружность, радиус описанной окружности $R$ связан со стороной квадрата $a$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{2}}$. В данном случае $a = BC = 2\sqrt{2}$.

$R = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$.

2. Длина окружности $C = 2\pi R = 2\pi (2) = 4\pi$.

3. В квадрате все четыре стороны равны и стягивают равные дуги. Каждая дуга составляет $\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$. Следовательно, центральный угол, соответствующий дуге $AD$, равен $90^\circ$.

$l_{AD} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \frac{1}{4} \cdot 2\pi (2) = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Ответ: $l_{AD} = \pi$, $C = 4\pi$

6)

Дано

$ABCD$ - квадрат, вписанный в окружность.

Сторона $AD = 6\sqrt{2}$.

Найти: $l_{DC}$, $C$

Решение

1. Для квадрата, вписанного в окружность, радиус описанной окружности $R$ связан со стороной квадрата $a$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{2}}$. В данном случае $a = AD = 6\sqrt{2}$.

$R = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$.

2. Длина окружности $C = 2\pi R = 2\pi (6) = 12\pi$.

3. В квадрате все четыре стороны равны и стягивают равные дуги. Каждая дуга составляет $\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$. Следовательно, центральный угол, соответствующий дуге $DC$, равен $90^\circ$.

$l_{DC} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \frac{1}{4} \cdot 2\pi (6) = \frac{12\pi}{4} = 3\pi$.

Ответ: $l_{DC} = 3\pi$, $C = 12\pi$

7)

Дано

$ABCDFE$ - правильный шестиугольник, вписанный в окружность.

Сторона $AB = 4$.

Найти: $l_{FD}$, $C$

Решение

1. Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности. В данном случае $R = AB = 4$.

2. Длина окружности $C = 2\pi R = 2\pi (4) = 8\pi$.

3. В правильном шестиугольнике каждая сторона стягивает дугу, равную $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$. Дуга $FD$ состоит из двух таких дуг (например, дуга $FE$ и дуга $ED$).

Следовательно, центральный угол, соответствующий дуге $FD$, равен $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

$l_{FD} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \frac{1}{3} \cdot 2\pi (4) = \frac{8\pi}{3}$.

Ответ: $l_{FD} = \frac{8\pi}{3}$, $C = 8\pi$

8)

Дано

$ABCDFE$ - правильный шестиугольник, вписанный в окружность.

Сторона $BC = 5$.

Найти: $l_{FE}$, $C$

Решение

1. Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности. В данном случае $R = BC = 5$.

2. Длина окружности $C = 2\pi R = 2\pi (5) = 10\pi$.

3. В правильном шестиугольнике каждая сторона стягивает дугу, равную $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$. Следовательно, центральный угол, соответствующий дуге $FE$, равен $60^\circ$.

$l_{FE} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \frac{1}{6} \cdot 2\pi (5) = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.

Ответ: $l_{FE} = \frac{5\pi}{3}$, $C = 10\pi$