Номер 1, страница 235 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Заполните таблицу:

$R$ – радиус круга;

$a$ – длина хорды;

$\alpha$ – центральный угол;

$S_{сек}$ – площадь сектора;

$S_{сегм}$ – площадь сегмента.

1) 2) 3) 4) 5)

$R$ 4 4 1

$a$ 6

$\alpha$ 120° 30° 60°

$S_{AOB}$

$S_{сек}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{8\pi}{3}$ $\frac{5\pi}{12}$

$S_{сегм}$

1)

Дано:

$R = 4$

$\alpha = 120^\circ$

Перевод в СИ:

$\alpha = 120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

$a$

$S_{AOB}$

$S_{сек}$

$S_{сегм}$

Решение:

Для нахождения длины хорды $a$ используем формулу $a = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

$a = 2 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = 8 \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

Для нахождения площади треугольника $S_{AOB}$ используем формулу $S_{AOB} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

Для нахождения площади сектора $S_{сек}$ используем формулу $S_{сек} = \frac{\pi R^2 \alpha_{deg}}{360}$.

$S_{сек} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 120}{360} = \frac{\pi \cdot 16}{3} = \frac{16\pi}{3}$

Для нахождения площади сегмента $S_{сегм}$ используем формулу $S_{сегм} = S_{сек} - S_{AOB}$.

$S_{сегм} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$

Ответ:

$a = 4\sqrt{3}$

$S_{AOB} = 4\sqrt{3}$

$S_{сек} = \frac{16\pi}{3}$

$S_{сегм} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$

2)

Дано:

$\alpha = 30^\circ$

$S_{сек} = \frac{\pi}{3}$

Перевод в СИ:

$\alpha = 30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:

$R$

$a$

$S_{AOB}$

$S_{сегм}$

Решение:

Для нахождения радиуса $R$ используем формулу $S_{сек} = \frac{\pi R^2 \alpha_{deg}}{360}$.

$\frac{\pi}{3} = \frac{\pi R^2 \cdot 30}{360}$

$\frac{1}{3} = \frac{R^2}{12}$

$R^2 = 4$

$R = 2$

Для нахождения длины хорды $a$ используем формулу $a = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

$a = 2 \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = 4 \sin(15^\circ)$

Так как $\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

$a = 4 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Для нахождения площади треугольника $S_{AOB}$ используем формулу $S_{AOB} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Для нахождения площади сегмента $S_{сегм}$ используем формулу $S_{сегм} = S_{сек} - S_{AOB}$.

$S_{сегм} = \frac{\pi}{3} - 1$

Ответ:

$R = 2$

$a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

$S_{AOB} = 1$

$S_{сегм} = \frac{\pi}{3} - 1$

3)

Дано:

$R = 4$

$S_{сек} = \frac{8\pi}{3}$

Найти:

$a$

$\alpha$

$S_{AOB}$

$S_{сегм}$

Решение:

Для нахождения центрального угла $\alpha$ используем формулу $S_{сек} = \frac{\pi R^2 \alpha_{deg}}{360}$.

$\frac{8\pi}{3} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot \alpha_{deg}}{360}$

$\frac{8}{3} = \frac{16 \cdot \alpha_{deg}}{360}$

$\frac{8}{3} = \frac{\alpha_{deg}}{22.5}$

$\alpha_{deg} = 8 \cdot 7.5 = 60^\circ$

Для нахождения длины хорды $a$ используем формулу $a = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

$a = 2 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 8 \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

Для нахождения площади треугольника $S_{AOB}$ используем формулу $S_{AOB} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

Для нахождения площади сегмента $S_{сегм}$ используем формулу $S_{сегм} = S_{сек} - S_{AOB}$.

$S_{сегм} = \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3}$

Ответ:

$a = 4$

$\alpha = 60^\circ$

$S_{AOB} = 4\sqrt{3}$

$S_{сегм} = \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3}$

4)

Дано:

$R = 1$

$S_{сек} = \frac{5\pi}{12}$

Найти:

$a$

$\alpha$

$S_{AOB}$

$S_{сегм}$

Решение:

Для нахождения центрального угла $\alpha$ используем формулу $S_{сек} = \frac{\pi R^2 \alpha_{deg}}{360}$.

$\frac{5\pi}{12} = \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot \alpha_{deg}}{360}$

$\frac{5}{12} = \frac{\alpha_{deg}}{360}$

$\alpha_{deg} = \frac{5 \cdot 360}{12} = 5 \cdot 30 = 150^\circ$

Для нахождения длины хорды $a$ используем формулу $a = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

$a = 2 \cdot 1 \cdot \sin\left(\frac{150^\circ}{2}\right) = 2 \sin(75^\circ)$

Так как $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

$a = 2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

Для нахождения площади треугольника $S_{AOB}$ используем формулу $S_{AOB} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Для нахождения площади сегмента $S_{сегм}$ используем формулу $S_{сегм} = S_{сек} - S_{AOB}$.

$S_{сегм} = \frac{5\pi}{12} - \frac{1}{4}$

Ответ:

$a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

$\alpha = 150^\circ$

$S_{AOB} = \frac{1}{4}$

$S_{сегм} = \frac{5\pi}{12} - \frac{1}{4}$

5)

Дано:

$a = 6$

$\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$\alpha = 60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

$R$

$S_{AOB}$

$S_{сек}$

$S_{сегм}$

Решение:

Для нахождения радиуса $R$ используем формулу $a = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

$6 = 2R \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right)$

$6 = 2R \sin(30^\circ)$

$6 = 2R \cdot \frac{1}{2}$

$6 = R$

$R = 6$

Для нахождения площади треугольника $S_{AOB}$ используем формулу $S_{AOB} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$

Для нахождения площади сектора $S_{сек}$ используем формулу $S_{сек} = \frac{\pi R^2 \alpha_{deg}}{360}$.

$S_{сек} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60}{360} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 1}{6} = 6\pi$

Для нахождения площади сегмента $S_{сегм}$ используем формулу $S_{сегм} = S_{сек} - S_{AOB}$.

$S_{сегм} = 6\pi - 9\sqrt{3}$

Ответ:

$R = 6$

$S_{AOB} = 9\sqrt{3}$

$S_{сек} = 6\pi$

$S_{сегм} = 6\pi - 9\sqrt{3}$