Страница 235 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Заполните таблицу:

$R$ – радиус круга;

$a$ – длина хорды;

$\alpha$ – центральный угол;

$S_{сек}$ – площадь сектора;

$S_{сегм}$ – площадь сегмента.

1) 2) 3) 4) 5)

$R$ 4 4 1

$a$ 6

$\alpha$ 120° 30° 60°

$S_{AOB}$

$S_{сек}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{8\pi}{3}$ $\frac{5\pi}{12}$

$S_{сегм}$

1)

Дано:

$R = 4$

$\alpha = 120^\circ$

Перевод в СИ:

$\alpha = 120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

$a$

$S_{AOB}$

$S_{сек}$

$S_{сегм}$

Решение:

Для нахождения длины хорды $a$ используем формулу $a = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

$a = 2 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = 8 \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

Для нахождения площади треугольника $S_{AOB}$ используем формулу $S_{AOB} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

Для нахождения площади сектора $S_{сек}$ используем формулу $S_{сек} = \frac{\pi R^2 \alpha_{deg}}{360}$.

$S_{сек} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 120}{360} = \frac{\pi \cdot 16}{3} = \frac{16\pi}{3}$

Для нахождения площади сегмента $S_{сегм}$ используем формулу $S_{сегм} = S_{сек} - S_{AOB}$.

$S_{сегм} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$

Ответ:

$a = 4\sqrt{3}$

$S_{AOB} = 4\sqrt{3}$

$S_{сек} = \frac{16\pi}{3}$

$S_{сегм} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$

2)

Дано:

$\alpha = 30^\circ$

$S_{сек} = \frac{\pi}{3}$

Перевод в СИ:

$\alpha = 30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:

$R$

$a$

$S_{AOB}$

$S_{сегм}$

Решение:

Для нахождения радиуса $R$ используем формулу $S_{сек} = \frac{\pi R^2 \alpha_{deg}}{360}$.

$\frac{\pi}{3} = \frac{\pi R^2 \cdot 30}{360}$

$\frac{1}{3} = \frac{R^2}{12}$

$R^2 = 4$

$R = 2$

Для нахождения длины хорды $a$ используем формулу $a = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

$a = 2 \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = 4 \sin(15^\circ)$

Так как $\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

$a = 4 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Для нахождения площади треугольника $S_{AOB}$ используем формулу $S_{AOB} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Для нахождения площади сегмента $S_{сегм}$ используем формулу $S_{сегм} = S_{сек} - S_{AOB}$.

$S_{сегм} = \frac{\pi}{3} - 1$

Ответ:

$R = 2$

$a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

$S_{AOB} = 1$

$S_{сегм} = \frac{\pi}{3} - 1$

3)

Дано:

$R = 4$

$S_{сек} = \frac{8\pi}{3}$

Найти:

$a$

$\alpha$

$S_{AOB}$

$S_{сегм}$

Решение:

Для нахождения центрального угла $\alpha$ используем формулу $S_{сек} = \frac{\pi R^2 \alpha_{deg}}{360}$.

$\frac{8\pi}{3} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot \alpha_{deg}}{360}$

$\frac{8}{3} = \frac{16 \cdot \alpha_{deg}}{360}$

$\frac{8}{3} = \frac{\alpha_{deg}}{22.5}$

$\alpha_{deg} = 8 \cdot 7.5 = 60^\circ$

Для нахождения длины хорды $a$ используем формулу $a = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

$a = 2 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 8 \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

Для нахождения площади треугольника $S_{AOB}$ используем формулу $S_{AOB} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

Для нахождения площади сегмента $S_{сегм}$ используем формулу $S_{сегм} = S_{сек} - S_{AOB}$.

$S_{сегм} = \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3}$

Ответ:

$a = 4$

$\alpha = 60^\circ$

$S_{AOB} = 4\sqrt{3}$

$S_{сегм} = \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3}$

4)

Дано:

$R = 1$

$S_{сек} = \frac{5\pi}{12}$

Найти:

$a$

$\alpha$

$S_{AOB}$

$S_{сегм}$

Решение:

Для нахождения центрального угла $\alpha$ используем формулу $S_{сек} = \frac{\pi R^2 \alpha_{deg}}{360}$.

$\frac{5\pi}{12} = \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot \alpha_{deg}}{360}$

$\frac{5}{12} = \frac{\alpha_{deg}}{360}$

$\alpha_{deg} = \frac{5 \cdot 360}{12} = 5 \cdot 30 = 150^\circ$

Для нахождения длины хорды $a$ используем формулу $a = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

$a = 2 \cdot 1 \cdot \sin\left(\frac{150^\circ}{2}\right) = 2 \sin(75^\circ)$

Так как $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

$a = 2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

Для нахождения площади треугольника $S_{AOB}$ используем формулу $S_{AOB} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Для нахождения площади сегмента $S_{сегм}$ используем формулу $S_{сегм} = S_{сек} - S_{AOB}$.

$S_{сегм} = \frac{5\pi}{12} - \frac{1}{4}$

Ответ:

$a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

$\alpha = 150^\circ$

$S_{AOB} = \frac{1}{4}$

$S_{сегм} = \frac{5\pi}{12} - \frac{1}{4}$

5)

Дано:

$a = 6$

$\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$\alpha = 60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

$R$

$S_{AOB}$

$S_{сек}$

$S_{сегм}$

Решение:

Для нахождения радиуса $R$ используем формулу $a = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

$6 = 2R \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right)$

$6 = 2R \sin(30^\circ)$

$6 = 2R \cdot \frac{1}{2}$

$6 = R$

$R = 6$

Для нахождения площади треугольника $S_{AOB}$ используем формулу $S_{AOB} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$

Для нахождения площади сектора $S_{сек}$ используем формулу $S_{сек} = \frac{\pi R^2 \alpha_{deg}}{360}$.

$S_{сек} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60}{360} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 1}{6} = 6\pi$

Для нахождения площади сегмента $S_{сегм}$ используем формулу $S_{сегм} = S_{сек} - S_{AOB}$.

$S_{сегм} = 6\pi - 9\sqrt{3}$

Ответ:

$R = 6$

$S_{AOB} = 9\sqrt{3}$

$S_{сек} = 6\pi$

$S_{сегм} = 6\pi - 9\sqrt{3}$

2. Найдите площадь заштрихованной фигуры:

1)

$R_1 = 5, R_2 = 2; S - ? $

2)

$R_1 = 4, R_2 = 3; S - ? $

3)

$R = 5; S - ? $

4)

$R = 3; S - ? $

5)

$R_1 = R_2 = 1; S - ? $

6)

$R_1 = R_2 = 2; S - ? $

7)

$R = 4; S - ? $

8)

$R = 4; S - ? $

9)

$a = 6, b = 8; S - ? $

10)

$\Delta ABC - правильный, AB = 2\sqrt{3}; S - ? $

1)

Дано:
Радиус внешней окружности $R_1 = 5$
Радиус внутренней окружности $R_2 = 2$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой кольцо. Площадь кольца находится как разность площадей внешнего и внутреннего кругов.

Площадь внешнего круга: $S_1 = \pi R_1^2 = \pi (5)^2 = 25\pi$

Площадь внутреннего круга: $S_2 = \pi R_2^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_1 - S_2 = 25\pi - 4\pi = 21\pi$

Ответ: $S = 21\pi$

2)

Дано:
Радиус внешней окружности $R_1 = 4$
Радиус внутренней окружности $R_2 = 3$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой кольцо. Площадь кольца находится как разность площадей внешнего и внутреннего кругов.

Площадь внешнего круга: $S_1 = \pi R_1^2 = \pi (4)^2 = 16\pi$

Площадь внутреннего круга: $S_2 = \pi R_2^2 = \pi (3)^2 = 9\pi$

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_1 - S_2 = 16\pi - 9\pi = 7\pi$

Ответ: $S = 7\pi$

3)

Дано:
Радиус круга $R = 5$
Угол незаштрихованного сектора $\alpha = 120^\circ$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой сектор круга. Если незаштрихованный сектор имеет угол $120^\circ$, то заштрихованный сектор имеет угол $\beta = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

Площадь заштрихованного сектора: $S = \frac{\beta}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{240^\circ}{360^\circ} \pi (5)^2 = \frac{2}{3} \pi (25) = \frac{50\pi}{3}$

Ответ: $S = \frac{50\pi}{3}$

4)

Дано:
Радиус круга $R = 3$
Угол заштрихованного сектора $\alpha = 120^\circ$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой сектор круга с углом $120^\circ$.

Площадь заштрихованного сектора: $S = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi (3)^2 = \frac{1}{3} \pi (9) = 3\pi$

Ответ: $S = 3\pi$

5)

Дано:
Длина прямоугольника $L = 5$
Радиусы вырезанных полукругов $R_1 = R_2 = 1$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура получена из прямоугольника путем вырезания двух полукругов по бокам.

Ширина прямоугольника равна двум радиусам полукругов: $W = 2R = 2 \times 1 = 2$.

Площадь прямоугольника: $S_{прямоугольника} = L \times W = 5 \times 2 = 10$.

Два вырезанных полукруга образуют один полный круг радиусом $R=1$.

Площадь вырезанного круга: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (1)^2 = \pi$.

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_{прямоугольника} - S_{круга} = 10 - \pi$.

Ответ: $S = 10 - \pi$

6)

Дано:
Длина прямоугольной части фигуры $L_{rect} = 6$
Радиусы полукругов на концах $R_1 = R_2 = 2$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура состоит из прямоугольника и двух полукругов по его коротким сторонам.

Ширина прямоугольника равна двум радиусам полукругов: $W = 2R = 2 \times 2 = 4$.

Площадь прямоугольной части: $S_{прямоугольника} = L_{rect} \times W = 6 \times 4 = 24$.

Два полукруга образуют один полный круг радиусом $R=2$.

Площадь круга: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$.

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_{прямоугольника} + S_{круга} = 24 + 4\pi$.

Ответ: $S = 24 + 4\pi$

7)

Дано:
Радиус круга $R = 4$
Угол незаштрихованного сектора $\alpha = 120^\circ$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой часть круга, полученную путем удаления сектора с углом $120^\circ$. Треугольник с прямым углом, изображенный внутри заштрихованной области, является частью этой области и не изменяет ее расчетной площади.

Угол заштрихованного сектора: $\beta = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

Площадь заштрихованной фигуры: $S = \frac{\beta}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{240^\circ}{360^\circ} \pi (4)^2 = \frac{2}{3} \pi (16) = \frac{32\pi}{3}$.

Ответ: $S = \frac{32\pi}{3}$

8)

Дано:
Радиус круга $R = 4$
Угол сектора $AOB = 120^\circ$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой круговой сегмент, который является частью сектора $AOB$ за вычетом треугольника $AOB$.

Площадь сектора $AOB$: $S_{сектора} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi (4)^2 = \frac{16\pi}{3}$.

Площадь треугольника $AOB$ (равнобедренный треугольник с углом $120^\circ$ между двумя сторонами $R$): $S_{треугольника} = \frac{1}{2} R^2 \sin(120^\circ)$.

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} (4)^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} (16) \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

Площадь заштрихованной фигуры (кругового сегмента): $S = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.

Ответ: $S = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$

9)

Дано:
Катеты прямоугольного треугольника $a = 6$, $b = 8$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой прямоугольный треугольник, из которого вырезан вписанный круг.

Площадь прямоугольного треугольника: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$.

Найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности: $r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Площадь вписанного круга: $S_{круга} = \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$.

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_{треугольника} - S_{круга} = 24 - 4\pi$.

Ответ: $S = 24 - 4\pi$

10)

Дано:
Сторона правильного треугольника $AB = 2\sqrt{3}$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой круг, из которого вырезан вписанный правильный (равносторонний) треугольник.

Пусть сторона правильного треугольника $a = 2\sqrt{3}$.

Площадь правильного треугольника: $S_{треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 \times 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 = 3\sqrt{3}$.

Радиус $R$ описанной вокруг правильного треугольника окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$.

Площадь описанного круга: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$.

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_{круга} - S_{треугольника} = 4\pi - 3\sqrt{3}$.

Ответ: $S = 4\pi - 3\sqrt{3}$