Страница 229 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Докажите, что треугольники подобны:

1)

$ \triangle ABE \sim \triangle DCE $

2)

$ \triangle BCD \sim \triangle BAC $

3)

$ \triangle NKM \sim \triangle PKE $

1)

Дано:

Окружность с хордами $AD$ и $BC$, пересекающимися в точке $E$.

Найти:

Доказать подобие треугольников $\triangle ABE$ и $\triangle DCE$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCE$.

1. Углы $\angle AEB$ и $\angle DEC$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении двух прямых $AD$ и $BC$. Следовательно, они равны: $\angle AEB = \angle DEC$.

2. Углы $\angle EAB$ (или $\angle CAB$) и $\angle EDC$ (или $\angle CDB$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $BC$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle EAB = \angle EDC$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle ABE$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle DCE$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Ответ: Треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCE$ подобны.

2)

Дано:

Окружность, касательная $BD$ к окружности в точке $D$, секущая $BA$, пересекающая окружность в точках $C$ и $A$ (точка $C$ лежит между $B$ и $A$).

Найти:

Доказать подобие треугольников $\triangle BDC$ и $\triangle BDA$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle BDC$ и $\triangle BDA$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

2. Угол $\angle BDC$ является углом между касательной $BD$ и хордой $DC$. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду $DC$ в альтернативном сегменте. Таким вписанным углом является $\angle DAC$ (или $\angle DAB$). Следовательно, $\angle BDC = \angle DAC$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle BDC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle BDA$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Ответ: Треугольники $\triangle BDC$ и $\triangle BDA$ подобны.

3)

Дано:

Окружность с хордами $MP$ и $NE$, пересекающимися в точке $K$.

Найти:

Доказать подобие треугольников $\triangle MNK$ и $\triangle PEK$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle PEK$.

1. Углы $\angle MKN$ и $\angle EKP$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении двух прямых $MP$ и $NE$. Следовательно, они равны: $\angle MKN = \angle EKP$.

2. Углы $\angle KNM$ (или $\angle MNP$) и $\angle KEP$ (или $\angle MEP$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $MP$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle KNM = \angle KEP$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle MNK$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle PEK$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Ответ: Треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle PEK$ подобны.

1. Найдите неизвестные элементы:

1)

AC - ?

2)

BC - ?

3)

AB - ?

4)

AC - ?

5)

AB - ?

6)

$ \sqrt{20} $

FC - ?

7)

BE - ?

8)

AN - ?

9)

BD - ?

10)

AC - ?

1) AC-?

Дано:

Точка $A$ вне круга.

Касательная $AK$ к кругу в точке $K$, $AK = 4$.

Секущая $AC$ проходит через точки $B$ и $C$. Внешний отрезок секущей $AB = 2$.

Найти: $AC$

Решение:

Используем теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности: квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.

$AK^2 = AB \cdot AC$

Подставляем известные значения:

$4^2 = 2 \cdot AC$

$16 = 2 \cdot AC$

$AC = \frac{16}{2}$

$AC = 8$

Ответ: $AC = 8$

2) BC-?

Дано:

Точка $B$ вне круга.

Касательная $BK$ к кругу в точке $K$, $BK = 4$.

Секущая $BC$ проходит через точки $A$ и $C$. Внешний отрезок секущей $BA = 6$.

Найти: $BC$

Решение:

Используем теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности: квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.

$BK^2 = BA \cdot BC$

Подставляем известные значения:

$4^2 = 6 \cdot BC$

$16 = 6 \cdot BC$

$BC = \frac{16}{6}$

$BC = \frac{8}{3}$

Ответ: $BC = \frac{8}{3}$

3) AB-?

Дано:

Точка $A$ вне круга.

Касательная $AB$ к кругу в точке $B$.

Секущая $AD$ проходит через точки $C$ и $D$. Внешний отрезок секущей $AC = 1$. Внутренний отрезок секущей $CD = 9$.

Найти: $AB$

Решение:

Длина всей секущей $AD = AC + CD = 1 + 9 = 10$.

Используем теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности: квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.

$AB^2 = AC \cdot AD$

Подставляем известные значения:

$AB^2 = 1 \cdot 10$

$AB^2 = 10$

$AB = \sqrt{10}$

Ответ: $AB = \sqrt{10}$

4) AC-?

Дано:

Точка $A$ вне круга.

Касательная $AD$ к кругу в точке $D$, $AD = 5$.

Секущая $AC$ проходит через точки $B$ и $C$. Внешний отрезок секущей $AB = 3$.

Найти: $AC$

Решение:

Используем теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности: квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.

$AD^2 = AB \cdot AC$

Подставляем известные значения:

$5^2 = 3 \cdot AC$

$25 = 3 \cdot AC$

$AC = \frac{25}{3}$

Ответ: $AC = \frac{25}{3}$

5) AB-?

Дано:

Точка $A$ вне круга.

Секущая $AD$ проходит через точки $C$ и $D$. Внешний отрезок $AC=3$, внутренний отрезок $CD=8$.

Отрезок $AB$ является касательной к кругу в точке $B$ (по изображению, где $B$ - единственная точка пересечения прямой $AB$ с окружностью).

Найти: $AB$

Решение:

Длина всей секущей $AD = AC + CD = 3 + 8 = 11$.

Используем теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности: квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.

$AB^2 = AC \cdot AD$

Подставляем известные значения:

$AB^2 = 3 \cdot 11$

$AB^2 = 33$

$AB = \sqrt{33}$

Ответ: $AB = \sqrt{33}$

6) FC-?

Дано:

Точка $F$ вне круга.

Касательная $FP$ к кругу в точке $P$, $FP = \sqrt{20}$.

Секущая $FC$ проходит через точки $K$ и $C$. Внешний отрезок секущей $FK = 12$.

Найти: $FC$

Решение:

Используем теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности: квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.

$FP^2 = FK \cdot FC$

Подставляем известные значения:

$(\sqrt{20})^2 = 12 \cdot FC$

$20 = 12 \cdot FC$

$FC = \frac{20}{12}$

$FC = \frac{5}{3}$

Ответ: $FC = \frac{5}{3}$

7) BE-?

Дано:

На изображении показана секущая $BE$, проходящая через точки $K$ и $E$.

Отрезок $BK = 7$.

Отрезок $KE = 8$.

Найти: $BE$

Решение:

Длина отрезка $BE$ является суммой длин отрезков $BK$ и $KE$.

$BE = BK + KE$

$BE = 7 + 8$

$BE = 15$

Ответ: $BE = 15$

8) AN-?

Дано:

Точка $A$ вне круга.

Секущая $AM$ проходит через точки $D$ и $M$. Внешний отрезок $AD=4$, внутренний отрезок $DM=11$.

Секущая $AN$ проходит через точки $R$ и $N$. Внешний отрезок $AR=3$.

Найти: $AN$

Решение:

Длина первой секущей $AM = AD + DM = 4 + 11 = 15$.

По теореме о двух секущих, проведенных из одной точки $A$ к окружности, произведение внешней части секущей на всю ее длину для одной секущей равно произведению внешней части на всю ее длину для другой секущей.

$AR \cdot AN = AD \cdot AM$

Подставляем известные значения:

$3 \cdot AN = 4 \cdot 15$

$3 \cdot AN = 60$

$AN = \frac{60}{3}$

$AN = 20$

Ответ: $AN = 20$

9) BD-?

Дано:

Внутри круга пересекаются две хорды $AB$ и $ND$ в точке $C$.

Отрезки хорды $AB$: $AC=9$, $CB=3$.

Отрезок хорды $ND$: $NC=16$.

Найти: $BD$

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах внутри окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AC \cdot CB = NC \cdot CD$

Подставляем известные значения:

$9 \cdot 3 = 16 \cdot CD$

$27 = 16 \cdot CD$

$CD = \frac{27}{16}$

Отрезок $BD$ является хордой, соединяющей точки $B$ и $D$. Для нахождения длины этой хорды необходимо дополнительная информация, например, радиус окружности или угол. Однако, в контексте подобных задач, часто под "BD-?" подразумевается "CD-?". Если требуется найти $CD$, то:

$CD = \frac{27}{16}$.

Поскольку вопрос явно просит $BD$, а информация для нахождения этого отрезка (как хорды) недостаточна, и учитывая, что $CD$ является прямым результатом применения теоремы о пересекающихся хордах, наиболее вероятным является запрос на $CD$. Если же подразумевается именно $BD$ как хорда, то задача не имеет однозначного решения с представленными данными. В данной задаче, я предоставлю значение $CD$.

Ответ: $CD = \frac{27}{16}$

10) AC-?

Дано:

Точка $A$ вне круга.

Секущая $AD$ проходит через точки $B$ и $D$. Внешний отрезок $AB=4$, внутренний отрезок $BD=8$.

Секущая $AE$ проходит через точки $C$ и $E$. Внутренний отрезок $CE=13$.

Найти: $AC$

Решение:

Длина первой секущей $AD = AB + BD = 4 + 8 = 12$.

По теореме о двух секущих, проведенных из одной точки $A$ к окружности, произведение внешней части секущей на всю ее длину для одной секущей равно произведению внешней части на всю ее длину для другой секущей.

$AC \cdot AE = AB \cdot AD$

Вычисляем произведение для первой секущей:

$AB \cdot AD = 4 \cdot 12 = 48$.

Значит, $AC \cdot AE = 48$.

Мы знаем, что $AE = AC + CE$. Подставляем значение $CE=13$:

$AE = AC + 13$.

Подставляем это выражение для $AE$ в уравнение:

$AC \cdot (AC + 13) = 48$

$AC^2 + 13AC = 48$

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$AC^2 + 13AC - 48 = 0$.

Решаем квадратное уравнение для $AC$ с помощью формулы корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

Дискриминант $D = 13^2 - 4(1)(-48) = 169 + 192 = 361$.

Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$.

Находим значения $AC$:

$AC_1 = \frac{-13 + 19}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$AC_2 = \frac{-13 - 19}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

$AC = 3$.

Ответ: $AC = 3$