Страница 226 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

VII. Теорема косинусов

1. Заполните таблицу:

$a$: 1) 12, 2) , 3) 15, 4) 7, 5) , 6) 10

$b$: 1) 8, 2) 17, 3) , 4) 14, 5) 6, 6)

$c$: 1) , 2) 9, 3) 35, 4) , 5) 15, 6) 12

$\alpha$: 1) , 2) $70^\circ$, 3) , 4) , 5) $80^\circ$, 6)

$\beta$: 1) , 2) , 3) $30^\circ$, 4) , 5) , 6) $45^\circ$

$\gamma$: 1) $60^\circ$, 2) , 3) , 4) $120^\circ$, 5) , 6)

$S$: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6)

1)

Дано:
Сторона $a = 12$
Сторона $b = 8$
Угол $\gamma = 60^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $c$
Угол $\alpha$
Угол $\beta$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $c$, используя теорему косинусов:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$
$c^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$
$c^2 = 144 + 64 - 192 \cdot 0.5$
$c^2 = 208 - 96$
$c^2 = 112$
$c = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$

2. Находим угол $\alpha$, используя теорему косинусов:$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos \alpha = \frac{8^2 + (4\sqrt{7})^2 - 12^2}{2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{7}}$
$\cos \alpha = \frac{64 + 112 - 144}{64\sqrt{7}}$
$\cos \alpha = \frac{32}{64\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14}$
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right) \approx 79.11^\circ$

3. Находим угол $\beta$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$
$\beta = 180^\circ - \arccos\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right) - 60^\circ$
$\beta = 120^\circ - \arccos\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right) \approx 40.89^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$:$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ$
$S = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S = 24\sqrt{3}$

Ответ:
$c = 4\sqrt{7} \approx 10.58$
$\alpha \approx 79.11^\circ$
$\beta \approx 40.89^\circ$
$S = 24\sqrt{3} \approx 41.57$

2)

Дано:
Сторона $b = 17$
Сторона $c = 9$
Угол $\alpha = 70^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $a$
Угол $\beta$
Угол $\gamma$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $a$, используя теорему косинусов:$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
$a^2 = 17^2 + 9^2 - 2 \cdot 17 \cdot 9 \cdot \cos 70^\circ$
$a^2 = 289 + 81 - 306 \cos 70^\circ$
$a^2 = 370 - 306 \cos 70^\circ$
$a = \sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ} \approx 16.29$

2. Находим угол $\beta$, используя теорему синусов:$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha}$
$\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}$
$\sin \beta = \frac{17 \sin 70^\circ}{\sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ}}$
$\beta = \arcsin\left(\frac{17 \sin 70^\circ}{\sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ}}\right) \approx 80.64^\circ$

3. Находим угол $\gamma$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$
$\gamma = 180^\circ - 70^\circ - \arcsin\left(\frac{17 \sin 70^\circ}{\sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ}}\right)$
$\gamma = 110^\circ - \arcsin\left(\frac{17 \sin 70^\circ}{\sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ}}\right) \approx 29.36^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$:$S = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 9 \cdot \sin 70^\circ$
$S = 76.5 \sin 70^\circ \approx 71.88$

Ответ:
$a = \sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ} \approx 16.29$
$\beta \approx 80.64^\circ$
$\gamma \approx 29.36^\circ$
$S = 76.5 \sin 70^\circ \approx 71.88$

3)

Дано:
Сторона $a = 15$
Сторона $c = 35$
Угол $\beta = 30^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $b$
Угол $\alpha$
Угол $\gamma$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $b$, используя теорему косинусов:$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$
$b^2 = 15^2 + 35^2 - 2 \cdot 15 \cdot 35 \cdot \cos 30^\circ$
$b^2 = 225 + 1225 - 1050 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$b^2 = 1450 - 525\sqrt{3}$
$b = \sqrt{1450 - 525\sqrt{3}} \approx 23.25$

2. Находим угол $\alpha$, используя теорему синусов:$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
$\sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b}$
$\sin \alpha = \frac{15 \sin 30^\circ}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}} = \frac{15 \cdot 0.5}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}} = \frac{7.5}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}}$
$\alpha = \arcsin\left(\frac{7.5}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}}\right) \approx 18.82^\circ$

3. Находим угол $\gamma$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$
$\gamma = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{7.5}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}}\right) - 30^\circ$
$\gamma = 150^\circ - \arcsin\left(\frac{7.5}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}}\right) \approx 131.18^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}ac \sin \beta$:$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 35 \cdot \sin 30^\circ$
$S = \frac{1}{2} \cdot 525 \cdot 0.5$
$S = 131.25$

Ответ:
$b = \sqrt{1450 - 525\sqrt{3}} \approx 23.25$
$\alpha \approx 18.82^\circ$
$\gamma \approx 131.18^\circ$
$S = 131.25$

4)

Дано:
Сторона $a = 7$
Сторона $b = 14$
Угол $\gamma = 120^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $c$
Угол $\alpha$
Угол $\beta$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $c$, используя теорему косинусов:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$
$c^2 = 7^2 + 14^2 - 2 \cdot 7 \cdot 14 \cdot \cos 120^\circ$
$c^2 = 49 + 196 - 196 \cdot (-0.5)$
$c^2 = 245 + 98$
$c^2 = 343$
$c = \sqrt{343} = \sqrt{49 \cdot 7} = 7\sqrt{7}$

2. Находим угол $\alpha$, используя теорему синусов:$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c}$
$\sin \alpha = \frac{7 \sin 120^\circ}{7\sqrt{7}} = \frac{\sin 120^\circ}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$
$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) \approx 19.10^\circ$

3. Находим угол $\beta$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$
$\beta = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) - 120^\circ$
$\beta = 60^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) \approx 40.90^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$:$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 14 \cdot \sin 120^\circ$
$S = 49 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S = \frac{49\sqrt{3}}{2}$

Ответ:
$c = 7\sqrt{7} \approx 18.52$
$\alpha \approx 19.10^\circ$
$\beta \approx 40.90^\circ$
$S = \frac{49\sqrt{3}}{2} \approx 42.44$

5)

Дано:
Сторона $b = 6$
Сторона $c = 15$
Угол $\alpha = 80^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $a$
Угол $\beta$
Угол $\gamma$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $a$, используя теорему косинусов:$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
$a^2 = 6^2 + 15^2 - 2 \cdot 6 \cdot 15 \cdot \cos 80^\circ$
$a^2 = 36 + 225 - 180 \cos 80^\circ$
$a^2 = 261 - 180 \cos 80^\circ$
$a = \sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ} \approx 15.16$

2. Находим угол $\beta$, используя теорему синусов:$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha}$
$\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}$
$\sin \beta = \frac{6 \sin 80^\circ}{\sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ}}$
$\beta = \arcsin\left(\frac{6 \sin 80^\circ}{\sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ}}\right) \approx 22.95^\circ$

3. Находим угол $\gamma$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$
$\gamma = 180^\circ - 80^\circ - \arcsin\left(\frac{6 \sin 80^\circ}{\sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ}}\right)$
$\gamma = 100^\circ - \arcsin\left(\frac{6 \sin 80^\circ}{\sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ}}\right) \approx 77.05^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 15 \cdot \sin 80^\circ$
$S = 45 \sin 80^\circ \approx 44.316$

Ответ:
$a = \sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ} \approx 15.16$
$\beta \approx 22.95^\circ$
$\gamma \approx 77.05^\circ$
$S = 45 \sin 80^\circ \approx 44.32$

6)

Дано:
Сторона $a = 10$
Сторона $c = 12$
Угол $\beta = 45^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $b$
Угол $\alpha$
Угол $\gamma$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $b$, используя теорему косинусов:$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$
$b^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos 45^\circ$
$b^2 = 100 + 144 - 240 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$b^2 = 244 - 120\sqrt{2}$
$b = \sqrt{244 - 120\sqrt{2}} \approx 8.62$

2. Находим угол $\alpha$, используя теорему синусов:$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
$\sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b}$
$\sin \alpha = \frac{10 \sin 45^\circ}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}} = \frac{10 \cdot \sqrt{2}/2}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}}$
$\alpha = \arcsin\left(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}}\right) \approx 55.09^\circ$

3. Находим угол $\gamma$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$
$\gamma = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}}\right) - 45^\circ$
$\gamma = 135^\circ - \arcsin\left(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}}\right) \approx 79.91^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}ac \sin \beta$:$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin 45^\circ$
$S = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$S = 30\sqrt{2}$

Ответ:
$b = \sqrt{244 - 120\sqrt{2}} \approx 8.62$
$\alpha \approx 55.09^\circ$
$\gamma \approx 79.91^\circ$
$S = 30\sqrt{2} \approx 42.43$

2. Заполните таблицу:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

a 15 7 15 5 80 8

b 13 4 14 5 65 35

c 4 5 13 6 17 29

$\alpha$

$\beta$

$\gamma$

S

1)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 15$, $b = 13$, $c = 4$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 15+13 > 4 \implies 28 > 4$ (истинно)

$a+c > b \implies 15+4 > 13 \implies 19 > 13$ (истинно)

$b+c > a \implies 13+4 > 15 \implies 17 > 15$ (истинно)

Треугольник существует.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{13^2 + 4^2 - 15^2}{2 \cdot 13 \cdot 4} = \frac{169 + 16 - 225}{104} = \frac{185 - 225}{104} = \frac{-40}{104} = -\frac{5}{13} \approx -0.3846$

$\alpha = \arccos\left(-\frac{5}{13}\right) \approx 112.62^\circ$

Для угла $\beta$ (напротив стороны $b$):

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{15^2 + 4^2 - 13^2}{2 \cdot 15 \cdot 4} = \frac{225 + 16 - 169}{120} = \frac{241 - 169}{120} = \frac{72}{120} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\beta = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \approx 53.13^\circ$

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{15^2 + 13^2 - 4^2}{2 \cdot 15 \cdot 13} = \frac{225 + 169 - 16}{390} = \frac{394 - 16}{390} = \frac{378}{390} = \frac{63}{65} \approx 0.9692$

$\gamma = \arccos\left(\frac{63}{65}\right) \approx 14.25^\circ$

Проверка суммы углов: $112.62^\circ + 53.13^\circ + 14.25^\circ = 180^\circ$.

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15+13+4}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{16(16-15)(16-13)(16-4)}$

$S = \sqrt{16 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 12} = \sqrt{576} = 24$

Ответ:

$\alpha \approx 112.62^\circ$, $\beta \approx 53.13^\circ$, $\gamma \approx 14.25^\circ$, $S = 24$.

2)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 7$, $b = 4$, $c = 5$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 7+4 > 5 \implies 11 > 5$ (истинно)

$a+c > b \implies 7+5 > 4 \implies 12 > 4$ (истинно)

$b+c > a \implies 4+5 > 7 \implies 9 > 7$ (истинно)

Треугольник существует.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 49}{40} = \frac{41 - 49}{40} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5} = -0.2$

$\alpha = \arccos\left(-\frac{1}{5}\right) \approx 101.54^\circ$

Для угла $\beta$ (напротив стороны $b$):

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 16}{70} = \frac{74 - 16}{70} = \frac{58}{70} = \frac{29}{35} \approx 0.8286$

$\beta = \arccos\left(\frac{29}{35}\right) \approx 34.05^\circ$

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 4^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 4} = \frac{49 + 16 - 25}{56} = \frac{65 - 25}{56} = \frac{40}{56} = \frac{5}{7} \approx 0.7143$

$\gamma = \arccos\left(\frac{5}{7}\right) \approx 44.42^\circ$

Проверка суммы углов: $101.54^\circ + 34.05^\circ + 44.42^\circ = 180.01^\circ$ (разница из-за округления).

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+4+5}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{8(8-7)(8-4)(8-5)}$

$S = \sqrt{8 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \approx 9.798$

Ответ:

$\alpha \approx 101.54^\circ$, $\beta \approx 34.05^\circ$, $\gamma \approx 44.42^\circ$, $S = 4\sqrt{6} \approx 9.80$.

3)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 15$, $b = 14$, $c = 13$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 15+14 > 13 \implies 29 > 13$ (истинно)

$a+c > b \implies 15+13 > 14 \implies 28 > 14$ (истинно)

$b+c > a \implies 14+13 > 15 \implies 27 > 15$ (истинно)

Треугольник существует.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{14^2 + 13^2 - 15^2}{2 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{196 + 169 - 225}{364} = \frac{365 - 225}{364} = \frac{140}{364} = \frac{5}{13} \approx 0.3846$

$\alpha = \arccos\left(\frac{5}{13}\right) \approx 67.38^\circ$

Для угла $\beta$ (напротив стороны $b$):

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{15^2 + 13^2 - 14^2}{2 \cdot 15 \cdot 13} = \frac{225 + 169 - 196}{390} = \frac{394 - 196}{390} = \frac{198}{390} = \frac{33}{65} \approx 0.5077$

$\beta = \arccos\left(\frac{33}{65}\right) \approx 59.50^\circ$

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{15^2 + 14^2 - 13^2}{2 \cdot 15 \cdot 14} = \frac{225 + 196 - 169}{420} = \frac{421 - 169}{420} = \frac{252}{420} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\gamma = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \approx 53.13^\circ$

Проверка суммы углов: $67.38^\circ + 59.50^\circ + 53.13^\circ = 180.01^\circ$ (разница из-за округления).

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15+14+13}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{21(21-15)(21-14)(21-13)}$

$S = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} = \sqrt{7056} = 84$

Ответ:

$\alpha \approx 67.38^\circ$, $\beta \approx 59.50^\circ$, $\gamma \approx 53.13^\circ$, $S = 84$.

4)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 5$, $b = 5$, $c = 6$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 5+5 > 6 \implies 10 > 6$ (истинно)

$a+c > b \implies 5+6 > 5 \implies 11 > 5$ (истинно)

$b+c > a \implies 5+6 > 5 \implies 11 > 5$ (истинно)

Треугольник существует. Это равнобедренный треугольник, так как $a=b$. Значит, $\alpha = \beta$.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 25}{60} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \approx 53.13^\circ$

Поскольку $a=b$, то $\beta = \alpha \approx 53.13^\circ$.

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{25 + 25 - 36}{50} = \frac{50 - 36}{50} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} = 0.28$

$\gamma = \arccos\left(\frac{7}{25}\right) \approx 73.74^\circ$

Проверка суммы углов: $53.13^\circ + 53.13^\circ + 73.74^\circ = 180.00^\circ$.

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+5+6}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}$

$S = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12$

Ответ:

$\alpha \approx 53.13^\circ$, $\beta \approx 53.13^\circ$, $\gamma \approx 73.74^\circ$, $S = 12$.

5)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 80$, $b = 65$, $c = 17$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 80+65 > 17 \implies 145 > 17$ (истинно)

$a+c > b \implies 80+17 > 65 \implies 97 > 65$ (истинно)

$b+c > a \implies 65+17 > 80 \implies 82 > 80$ (истинно)

Треугольник существует.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{65^2 + 17^2 - 80^2}{2 \cdot 65 \cdot 17} = \frac{4225 + 289 - 6400}{2210} = \frac{4514 - 6400}{2210} = \frac{-1886}{2210} \approx -0.8534$

$\alpha = \arccos\left(-\frac{1886}{2210}\right) \approx 148.67^\circ$

Для угла $\beta$ (напротив стороны $b$):

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{80^2 + 17^2 - 65^2}{2 \cdot 80 \cdot 17} = \frac{6400 + 289 - 4225}{2720} = \frac{6689 - 4225}{2720} = \frac{2464}{2720} \approx 0.9059$

$\beta = \arccos\left(\frac{2464}{2720}\right) \approx 25.04^\circ$

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{80^2 + 65^2 - 17^2}{2 \cdot 80 \cdot 65} = \frac{6400 + 4225 - 289}{10400} = \frac{10625 - 289}{10400} = \frac{10336}{10400} \approx 0.9938$

$\gamma = \arccos\left(\frac{10336}{10400}\right) \approx 6.45^\circ$

Проверка суммы углов: $148.67^\circ + 25.04^\circ + 6.45^\circ = 180.16^\circ$ (разница из-за округления).

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{80+65+17}{2} = \frac{162}{2} = 81$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{81(81-80)(81-65)(81-17)}$

$S = \sqrt{81 \cdot 1 \cdot 16 \cdot 64} = \sqrt{82944} = 288$

Ответ:

$\alpha \approx 148.67^\circ$, $\beta \approx 25.04^\circ$, $\gamma \approx 6.45^\circ$, $S = 288$.

6)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 8$, $b = 35$, $c = 29$.

Перевод в СИ: величины не требуют перевода, так как являются безразмерными или в условных единицах длины.

Найти:

Углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и площадь $S$.

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник допустимым (неравенство треугольника):

$a+b > c \implies 8+35 > 29 \implies 43 > 29$ (истинно)

$a+c > b \implies 8+29 > 35 \implies 37 > 35$ (истинно)

$b+c > a \implies 35+29 > 8 \implies 64 > 8$ (истинно)

Треугольник существует.

2. Вычислим углы, используя теорему косинусов:

Для угла $\alpha$ (напротив стороны $a$):

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{35^2 + 29^2 - 8^2}{2 \cdot 35 \cdot 29} = \frac{1225 + 841 - 64}{2030} = \frac{2066 - 64}{2030} = \frac{2002}{2030} = \frac{1001}{1015} \approx 0.9862$

$\alpha = \arccos\left(\frac{1001}{1015}\right) \approx 9.59^\circ$

Для угла $\beta$ (напротив стороны $b$):

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{8^2 + 29^2 - 35^2}{2 \cdot 8 \cdot 29} = \frac{64 + 841 - 1225}{464} = \frac{905 - 1225}{464} = \frac{-320}{464} = -\frac{20}{29} \approx -0.6897$

$\beta = \arccos\left(-\frac{20}{29}\right) \approx 133.62^\circ$

Для угла $\gamma$ (напротив стороны $c$):

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{8^2 + 35^2 - 29^2}{2 \cdot 8 \cdot 35} = \frac{64 + 1225 - 841}{560} = \frac{1289 - 841}{560} = \frac{448}{560} = \frac{4}{5} = 0.8$

$\gamma = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) \approx 36.87^\circ$

Проверка суммы углов: $9.59^\circ + 133.62^\circ + 36.87^\circ = 180.08^\circ$ (разница из-за округления).

3. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+35+29}{2} = \frac{72}{2} = 36$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{36(36-8)(36-35)(36-29)}$

$S = \sqrt{36 \cdot 28 \cdot 1 \cdot 7} = \sqrt{7056} = 84$

Ответ:

$\alpha \approx 9.59^\circ$, $\beta \approx 133.62^\circ$, $\gamma \approx 36.87^\circ$, $S = 84$.

3. Найдите неизвестные элементы:

1)

$x - ? $

2)

$x - ? $

3)

$AC - ? BD - ? $

4)

$AC - ? BD - ? $

5)

$AC : BC = 7 : 8, \angle C = 120^\circ $

$x - ? y - ? $

6)

$x - ? $

1) Дано: треугольник со сторонами $a=16$, $b=7$. Медиана (или отрезок, делящий сторону) $x$ проведен к стороне $a$. Угол между стороной $b$ и стороной $a$ равен $60^\circ$. На изображении видно, что отрезок $x$ делит сторону $16$ на две равные части. Таким образом, в рассматриваемом треугольнике стороны $7$ и $16/2 = 8$, а угол между ними $60^\circ$.
Найти: $x$
Решение:
Применим теорему косинусов для нахождения стороны $x$ в треугольнике со сторонами $7$ и $8$ и углом между ними $60^\circ$:
$x^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$
$x^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \frac{1}{2}$
$x^2 = 113 - 56$
$x^2 = 57$
$x = \sqrt{57}$
Ответ: $\sqrt{57}$

2) Дано: треугольник со сторонами $a=14$ и $b=12$. Угол между этими сторонами равен $120^\circ$. Неизвестная сторона $x$ лежит напротив угла $120^\circ$. (Знаки на стороне $x$ и стороне $12$ в данном контексте, скорее всего, означают, что $x$ является искомой третьей стороной, а не что $x=12$, иначе задача была бы тривиальной и остальные данные были бы излишни).
Найти: $x$
Решение:
Применим теорему косинусов для нахождения стороны $x$ в треугольнике:
$x^2 = 14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)$
$x^2 = 196 + 144 - 336 \cdot (-\frac{1}{2})$
$x^2 = 340 + 168$
$x^2 = 508$
$x = \sqrt{508} = \sqrt{4 \cdot 127} = 2\sqrt{127}$
Ответ: $2\sqrt{127}$

3) Дано: четырехугольник $ABCD$. Сторона $AB = 12$, сторона $AD = 14$. Угол $ADC = 120^\circ$. По виду фигуры предполагаем, что $ABCD$ является параллелограммом.
Если $ABCD$ параллелограмм, то $AB = CD = 12$ и $AD = BC = 14$. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$.
Значит, $\angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Найти: $AC$, $BD$
Решение:
1. Для нахождения диагонали $AC$ рассмотрим треугольник $ADC$.
Применим теорему косинусов:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC)$
$AC^2 = 14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)$
$AC^2 = 196 + 144 - 336 \cdot (-\frac{1}{2})$
$AC^2 = 340 + 168$
$AC^2 = 508$
$AC = \sqrt{508} = 2\sqrt{127}$
2. Для нахождения диагонали $BD$ рассмотрим треугольник $ABD$.
Применим теорему косинусов:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$
$BD^2 = 12^2 + 14^2 - 2 \cdot 12 \cdot 14 \cdot \cos(60^\circ)$
$BD^2 = 144 + 196 - 336 \cdot \frac{1}{2}$
$BD^2 = 340 - 168$
$BD^2 = 172$
$BD = \sqrt{172} = \sqrt{4 \cdot 43} = 2\sqrt{43}$
Ответ: $AC = 2\sqrt{127}$, $BD = 2\sqrt{43}$

4) Дано: четырехугольник $ABCD$. Сторона $AB = 12$, сторона $AD = 18$. Угол $B = 120^\circ$, угол $D = 60^\circ$.
Поскольку $\angle B + \angle D = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$, и эти углы являются противоположными, это может быть вписанный четырехугольник. Однако, если предположить, что $ABCD$ - трапеция, и $AB \parallel CD$, то сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.
Тогда $\angle A + \angle D = 180^\circ \implies \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
И $\angle B + \angle C = 180^\circ \implies \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Углы при основании $AD$ равны $120^\circ$ и $60^\circ$. Углы при основании $BC$ равны $120^\circ$ и $60^\circ$. Углы при основаниях $AB$ и $CD$ равны. Углы $\angle A = \angle B = 120^\circ$ и $\angle C = \angle D = 60^\circ$. Это является свойством равнобедренной трапеции, где $AD$ и $BC$ - боковые стороны, $AB$ и $CD$ - основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, т.е. $AD = BC = 18$. Диагонали также равны: $AC = BD$.
Найти: $AC$, $BD$
Решение:
1. Найдем длину диагонали $BD$. Рассмотрим треугольник $ABD$.
Применим теорему косинусов к треугольнику $ABD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$
$BD^2 = 12^2 + 18^2 - 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot \cos(120^\circ)$
$BD^2 = 144 + 324 - 432 \cdot (-\frac{1}{2})$
$BD^2 = 468 + 216$
$BD^2 = 684$
$BD = \sqrt{684} = \sqrt{36 \cdot 19} = 6\sqrt{19}$
2. Поскольку $ABCD$ является равнобедренной трапецией ($AB \parallel CD$, $AD = BC$), то её диагонали равны.
Значит, $AC = BD = 6\sqrt{19}$.
(Для проверки, можно найти $CD$. Проведем высоты из $A$ и $B$ на $CD$. Пусть они будут $AF$ и $BE$. В прямоугольном треуголь $AFD$: $FD = AD \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$. В прямоугольном треугольнике $BEC$: $CE = BC \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$. Так как $ABEF$ - прямоугольник, $EF = AB = 12$. Тогда $CD = FD + EF + CE = 9 + 12 + 9 = 30$.)
Ответ: $AC = 6\sqrt{19}$, $BD = 6\sqrt{19}$

5) Дано: треугольник $ABC$. Сторона $AB = 26$. Угол $C = 120^\circ$. Сторона $AC = x$, сторона $BC = y$. Дано соотношение сторон $AC : BC = 7 : 8$.
Найти: $x$, $y$
Решение:
Из соотношения $AC : BC = 7 : 8$ можем записать $AC = 7k$ и $BC = 8k$ для некоторого коэффициента $k$.
Тогда $x = 7k$ и $y = 8k$.
Применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$ для стороны $AB$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
$26^2 = (7k)^2 + (8k)^2 - 2 \cdot (7k) \cdot (8k) \cdot \cos(120^\circ)$
$676 = 49k^2 + 64k^2 - 112k^2 \cdot (-\frac{1}{2})$
$676 = 113k^2 + 56k^2$
$676 = 169k^2$
$k^2 = \frac{676}{169}$
$k^2 = 4$
$k = 2$ (поскольку длина должна быть положительной)
Теперь найдем $x$ и $y$:
$x = AC = 7k = 7 \cdot 2 = 14$
$y = BC = 8k = 8 \cdot 2 = 16$
Ответ: $x = 14$, $y = 16$

6) Дано: треугольник со сторонами $a = \sqrt{13}$, $b = 4$, $c = x$. Угол между сторонами $b$ и $c$ равен $60^\circ$. Сторона $a = \sqrt{13}$ лежит напротив угла $60^\circ$.
Найти: $x$
Решение:
Применим теорему косинусов для стороны $\sqrt{13}$:
$(\sqrt{13})^2 = 4^2 + x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x \cdot \cos(60^\circ)$
$13 = 16 + x^2 - 8x \cdot \frac{1}{2}$
$13 = 16 + x^2 - 4x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x + 16 - 13 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней или разложить на множители:
$(x-1)(x-3) = 0$
Возможные значения для $x$: $x_1 = 1$ или $x_2 = 3$.
Оба значения являются положительными и удовлетворяют неравенству треугольника для данных сторон ($\sqrt{13} \approx 3.6$), поэтому оба решения являются геометрически допустимыми.
1) Если $x=1$: стороны $(1, 4, \sqrt{13})$. $1+4 > \sqrt{13}$ (True), $1+\sqrt{13} > 4$ (True), $4+\sqrt{13} > 1$ (True).
2) Если $x=3$: стороны $(3, 4, \sqrt{13})$. $3+4 > \sqrt{13}$ (True), $3+\sqrt{13} > 4$ (True), $4+\sqrt{13} > 3$ (True).
Ответ: $x = 1$ или $x = 3$