Страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Найдите координаты точек $M_1 = T_{\vec{a}}(M)$, $H_1 = T_{\vec{a}}(H)$, $F_1 = T_{\vec{a}}(F)$, если $M(1; 3)$, $H(-2; -4)$, $F(5; -2)$ и $\vec{a}(2; -1)$.

Дано:

Координаты исходных точек: $M(1; 3)$, $H(-2; -4)$, $F(5; -2)$.

Вектор переноса: $\vec{a}(2; -1)$.

Найти:

Координаты точек $M_1$, $H_1$, $F_1$, полученных в результате параллельного переноса $T_{\vec{a}}(M)$, $T_{\vec{a}}(H)$, $T_{\vec{a}}(F)$.

Решение:

Параллельный перенос точки $P(x; y)$ на вектор $\vec{a}(a_x; a_y)$ приводит к новой точке $P_1(x_1; y_1)$, координаты которой определяются по формулам:

$x_1 = x + a_x$

$y_1 = y + a_y$

Применяем эти формулы для каждой из заданных точек.

Для точки $M(1; 3)$ и вектора $\vec{a}(2; -1)$:

$M_1 = T_{\vec{a}}(M)$

$x_{M_1} = 1 + 2 = 3$

$y_{M_1} = 3 + (-1) = 3 - 1 = 2$

Таким образом, $M_1(3; 2)$.

Для точки $H(-2; -4)$ и вектора $\vec{a}(2; -1)$:

$H_1 = T_{\vec{a}}(H)$

$x_{H_1} = -2 + 2 = 0$

$y_{H_1} = -4 + (-1) = -4 - 1 = -5$

Таким образом, $H_1(0; -5)$.

Для точки $F(5; -2)$ и вектора $\vec{a}(2; -1)$:

$F_1 = T_{\vec{a}}(F)$

$x_{F_1} = 5 + 2 = 7$

$y_{F_1} = -2 + (-1) = -2 - 1 = -3$

Таким образом, $F_1(7; -3)$.

Ответ:

Координаты точек: $M_1(3; 2)$, $H_1(0; -5)$, $F_1(7; -3)$.

9. В результате параллельного переноса точка $A(-1; 3)$ переходит в точку $A'(2; 4)$, а точка $B(1; -3)$ - в точку $B'(x; y)$. Найдите x и y.

Дано

точка $A(-1; 3)$

образ точки $A'$ при параллельном переносе: $A'(2; 4)$

точка $B(1; -3)$

образ точки $B'$ при параллельном переносе: $B'(x; y)$

Найти:

значения $x$ и $y$.

Решение

Параллельный перенос определяется вектором. Для нахождения компонент вектора переноса $\vec{v}(a; b)$ используем координаты исходной точки $A(x_A; y_A)$ и ее образа $A'(x_{A'}; y_{A'})$.

Компоненты вектора переноса определяются как разность соответствующих координат:

$a = x_{A'} - x_A$

$b = y_{A'} - y_A$

Подставим известные координаты точки $A(-1; 3)$ и ее образа $A'(2; 4)$:

$a = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$

$b = 4 - 3 = 1$

Таким образом, вектор параллельного переноса имеет координаты $\vec{v}(3; 1)$.

Теперь, используя найденный вектор переноса, мы можем найти координаты образа $B'(x; y)$ для точки $B(x_B; y_B)$:

$x = x_B + a$

$y = y_B + b$

Подставим координаты точки $B(1; -3)$ и компоненты вектора переноса $\vec{v}(3; 1)$:

$x = 1 + 3 = 4$

$y = -3 + 1 = -2$

Следовательно, координаты точки $B'$ равны $(4; -2)$.

Ответ:

$x = 4$, $y = -2$.

10. $A_1B_1$ является образом прямой $AB$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(2; -1)$, где $A(-2; 5)$, $B(1; -3)$. Запишите уравнение прямой $A_1B_1$.

Точка $A(-2; 5)$.
Точка $B(1; -3)$.
Вектор $\vec{a}(2; -1)$.

Уравнение прямой $A_1B_1$.

Параллельный перенос точки $P(x, y)$ на вектор $\vec{a}(a_x, a_y)$ приводит к точке $P'(x', y')$ с координатами $x' = x + a_x$ и $y' = y + a_y$.

Найдем координаты точки $A_1$, которая является образом точки $A(-2; 5)$ при переносе на вектор $\vec{a}(2; -1)$: $x_{A_1} = -2 + 2 = 0$
$y_{A_1} = 5 + (-1) = 4$
Таким образом, $A_1(0; 4)$.

Найдем координаты точки $B_1$, которая является образом точки $B(1; -3)$ при переносе на вектор $\vec{a}(2; -1)$: $x_{B_1} = 1 + 2 = 3$
$y_{B_1} = -3 + (-1) = -4$
Таким образом, $B_1(3; -4)$.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A_1(0; 4)$ и $B_1(3; -4)$. Используем формулу уравнения прямой по двум точкам $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты $A_1(0; 4)$ и $B_1(3; -4)$: $\frac{y - 4}{-4 - 4} = \frac{x - 0}{3 - 0}$
$\frac{y - 4}{-8} = \frac{x}{3}$
Умножим обе части на $3 \cdot (-8)$ (или выполним перекрестное умножение): $3(y - 4) = -8x$
$3y - 12 = -8x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить общее уравнение прямой $Ax + By + C = 0$: $8x + 3y - 12 = 0$.

Уравнение прямой $A_1B_1$ есть $8x + 3y - 12 = 0$.

1. Найдите x и y для подобных треугольников:

1)

$x - ? y - ?$

2)

$x - ? y - ?$

3)

$x - ? y - ?$

4)

$x - ? y - ?$

5)

$P_{\Delta} = 32$

$x - ? y - ?$

6)

$P_{\Delta} = 12$

$x - ? y - ?$

7)

$c : a : b = 9 : 4 : 8$;

$x - ? y - ?$

8)

$P_{\Delta} = 42$

$c : a : b = 3 : 6 : 5$;

$x - ? y - ?$

9)

$c : a : b = 6 : 7 : 8, y - x = 4$;

$x - ? y - ?$

10)

$c : a : b = 6 : 7 : 8, y + x = 45$;

$x - ? y - ?$

1)

Дано:
Большой треугольник со сторонами $x, y, 10$.
Малый треугольник со сторонами $6, 4, 5$.
Треугольники подобны.

Найти:
$x, y$

Решение:
Поскольку треугольники подобны, отношение их соответствующих сторон постоянно.
По рисунку, сторона $10$ большого треугольника соответствует стороне $5$ малого треугольника.
Коэффициент подобия $k$ (отношение сторон большого к малому треугольнику) равен:
$k = \frac{10}{5} = 2$.
Сторона $x$ большого треугольника соответствует стороне $6$ малого треугольника. Следовательно:
$x = k \cdot 6 = 2 \cdot 6 = 12$.
Сторона $y$ большого треугольника соответствует стороне $4$ малого треугольника. Следовательно:
$y = k \cdot 4 = 2 \cdot 4 = 8$.

Ответ: $x = 12, y = 8$

2)

Дано:
Большой треугольник со сторонами $4, x, 10$.
Малый треугольник со сторонами $y, 3, 5$.
Треугольники подобны.

Найти:
$x, y$

Решение:
Поскольку треугольники подобны, отношение их соответствующих сторон постоянно.
По рисунку, сторона $10$ большого треугольника соответствует стороне $5$ малого треугольника.
Коэффициент подобия $k$ (отношение сторон большого к малому треугольнику) равен:
$k = \frac{10}{5} = 2$.
Сторона $4$ большого треугольника соответствует стороне $y$ малого треугольника. Следовательно:
$4 = k \cdot y \Rightarrow 4 = 2y \Rightarrow y = \frac{4}{2} = 2$.
Сторона $x$ большого треугольника соответствует стороне $3$ малого треугольника. Следовательно:
$x = k \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: $x = 6, y = 2$

3)

Дано:
Большой треугольник со сторонами $10, x, 12$.
Малый треугольник со сторонами $6, 8, y$.
Треугольники подобны.

Найти:
$x, y$

Решение:
Поскольку треугольники подобны, отношение их соответствующих сторон постоянно.
По рисунку, сторона $10$ большого треугольника соответствует стороне $6$ малого треугольника (левая сторона), а сторона $12$ большого треугольника соответствует стороне $y$ малого треугольника (основание), и сторона $x$ большого треугольника соответствует стороне $8$ малого треугольника (правая сторона).
Коэффициент подобия $k$ (отношение сторон большого к малому треугольнику) равен:
$k = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Сторона $x$ большого треугольника соответствует стороне $8$ малого треугольника. Следовательно:
$x = k \cdot 8 = \frac{5}{3} \cdot 8 = \frac{40}{3}$.
Сторона $12$ большого треугольника соответствует стороне $y$ малого треугольника. Следовательно:
$12 = k \cdot y \Rightarrow 12 = \frac{5}{3} \cdot y \Rightarrow y = \frac{12 \cdot 3}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$.

Ответ: $x = \frac{40}{3}, y = 7.2$

4)

Дано:
Большой треугольник со сторонами $12, x, y$.
Малый треугольник со сторонами $10, 8, 6$.
Треугольники подобны.

Найти:
$x, y$

Решение:
Поскольку треугольники подобны, отношение их соответствующих сторон постоянно.
По рисунку, сторона $12$ большого треугольника соответствует стороне $10$ малого треугольника (левая сторона), сторона $x$ большого треугольника соответствует стороне $8$ малого треугольника (правая сторона), и сторона $y$ большого треугольника соответствует стороне $6$ малого треугольника (основание).
Коэффициент подобия $k$ (отношение сторон большого к малому треугольнику) равен:
$k = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1.2$.
Сторона $x$ большого треугольника соответствует стороне $8$ малого треугольника. Следовательно:
$x = k \cdot 8 = \frac{6}{5} \cdot 8 = \frac{48}{5} = 9.6$.
Сторона $y$ большого треугольника соответствует стороне $6$ малого треугольника. Следовательно:
$y = k \cdot 6 = \frac{6}{5} \cdot 6 = \frac{36}{5} = 7.2$.

Ответ: $x = 9.6, y = 7.2$

5)

Дано:
Большой треугольник: стороны $x, y$, основание; периметр $P_{\Delta} = 32$.
Малый треугольник: стороны $4, 7, 5$.
Треугольники подобны.

Найти:
$x, y$

Решение:
Для малого треугольника стороны равны $4, 7, 5$.
Периметр малого треугольника $P' = 4 + 7 + 5 = 16$.
Периметр большого треугольника $P = 32$.
Для подобных треугольников отношение периметров равно коэффициенту подобия.
Коэффициент подобия $k$ (отношение сторон большого к малому треугольнику) равен:
$k = \frac{P}{P'} = \frac{32}{16} = 2$.
По рисунку, сторона $x$ большого треугольника соответствует стороне $4$ малого треугольника (левая сторона).
$x = k \cdot 4 = 2 \cdot 4 = 8$.
Сторона $y$ большого треугольника соответствует стороне $7$ малого треугольника (правая сторона).
$y = k \cdot 7 = 2 \cdot 7 = 14$.
(Основание большого треугольника будет $2 \cdot 5 = 10$. Проверка периметра: $8 + 14 + 10 = 32$, что соответствует условию).

Ответ: $x = 8, y = 14$

6)

Дано:
Большой треугольник со сторонами $10, 12, 14$.
Малый треугольник со сторонами $x, y$, основание; периметр $P_{\Delta} = 12$.
Треугольники подобны.

Найти:
$x, y$

Решение:
Для большого треугольника стороны равны $10, 12, 14$.
Периметр большого треугольника $P = 10 + 12 + 14 = 36$.
Периметр малого треугольника $P' = 12$.
Для подобных треугольников отношение периметров равно коэффициенту подобия.
Коэффициент подобия $k$ (отношение сторон большого к малому треугольнику) равен:
$k = \frac{P}{P'} = \frac{36}{12} = 3$.
По рисунку, сторона $x$ малого треугольника соответствует стороне $10$ большого треугольника (левая сторона).
$x = \frac{10}{k} = \frac{10}{3}$.
Сторона $y$ малого треугольника соответствует стороне $12$ большого треугольника (правая сторона).
$y = \frac{12}{k} = \frac{12}{3} = 4$.
(Основание малого треугольника будет $\frac{14}{3}$. Проверка периметра: $\frac{10}{3} + \frac{12}{3} + \frac{14}{3} = \frac{36}{3} = 12$, что соответствует условию).

Ответ: $x = \frac{10}{3}, y = 4$

7)

Дано:
Малый треугольник со сторонами $c, a, b$ в соотношении $c : a : b = 9 : 4 : 8$.
Большой треугольник со сторонами $x, y, 6$.
Треугольники подобны.

Найти:
$x, y$

Решение:
Поскольку треугольники подобны, их стороны пропорциональны согласно заданному соотношению $9 : 4 : 8$.
На малом треугольнике (слева), $c$ - левая сторона, $a$ - правая сторона, $b$ - основание.
На большом треугольнике (справа), $x$ - левая сторона, $y$ - правая сторона, $6$ - основание.
Следовательно, соответствующие стороны: $x$ соответствует $c$, $y$ соответствует $a$, $6$ соответствует $b$.
То есть $x$ относится к $9$, $y$ относится к $4$, $6$ относится к $8$.
Можем записать пропорцию: $\frac{x}{9} = \frac{y}{4} = \frac{6}{8}$.
Найдем общий коэффициент подобия из известной пары сторон:
$\frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$.
Теперь найдем $x$:
$\frac{x}{9} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$.
Теперь найдем $y$:
$\frac{y}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow y = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$.

Ответ: $x = 6.75, y = 3$

8)

Дано:
Малый треугольник со сторонами $c, a, b$ в соотношении $c : a : b = 3 : 6 : 5$.
Большой треугольник со сторонами $x, y$ и основанием; периметр $P_{\Delta} = 42$.
Треугольники подобны.

Найти:
$x, y$

Решение:
Поскольку треугольники подобны, их стороны пропорциональны согласно заданному соотношению $3 : 6 : 5$.
Пусть стороны малого треугольника будут $3k_p, 6k_p, 5k_p$.
Периметр малого треугольника $P_{пропорциональный} = 3 + 6 + 5 = 14$ (единиц пропорциональности).
Периметр большого треугольника $P = 42$.
Коэффициент масштабирования (от пропорциональных единиц к фактическим размерам большого треугольника) равен:
$K = \frac{P}{P_{пропорциональный}} = \frac{42}{14} = 3$.
На малом треугольнике (слева), $c$ - левая сторона, $a$ - правая сторона, $b$ - основание.
На большом треугольнике (справа), $x$ - левая сторона, $y$ - правая сторона.
Следовательно, $x$ соответствует $c$, $y$ соответствует $a$.
Значит, $x$ - это сторона, пропорциональная $3$, а $y$ - это сторона, пропорциональная $6$.
$x = 3 \cdot K = 3 \cdot 3 = 9$.
$y = 6 \cdot K = 6 \cdot 3 = 18$.
(Основание большого треугольника будет $5 \cdot 3 = 15$. Проверка периметра: $9 + 18 + 15 = 42$, что соответствует условию).

Ответ: $x = 9, y = 18$

9)

Дано:
Большой треугольник со сторонами $c, a, b$ в соотношении $c : a : b = 6 : 7 : 8$.
Малый треугольник со сторонами $x, y$.
Дополнительное условие: $y - x = 4$.
Треугольники подобны.

Найти:
$x, y$

Решение:
Поскольку треугольники подобны, их стороны пропорциональны согласно заданному соотношению $6 : 7 : 8$.
В большом треугольнике: $c$ - левая сторона (пропорция $6$), $a$ - верхняя сторона (пропорция $7$), $b$ - правая сторона (пропорция $8$).
В малом треугольнике: $y$ - левая сторона, $x$ - правая сторона.
При прямом соответствии сторон ($y$ к $c$, $x$ к $b$) мы получим $y = 6k$ и $x = 8k$. Тогда $y - x = 6k - 8k = -2k = 4$, что дает $k = -2$. Коэффициент подобия не может быть отрицательным.
Это означает, что соответствие сторон между треугольниками не прямое по ориентации, а, например, зеркальное или повернутое.
Предположим, что левая сторона малого треугольника ($y$) соответствует правой стороне большого ($b$), а правая сторона малого треугольника ($x$) соответствует левой стороне большого ($c$).
Тогда $y$ пропорционален $8$, а $x$ пропорционален $6$.
Пусть $k$ - коэффициент подобия (от пропорциональных единиц к фактическим размерам малого треугольника).
Тогда $y = 8k$ и $x = 6k$.
Используем дополнительное условие $y - x = 4$:
$8k - 6k = 4$
$2k = 4$
$k = 2$.
Теперь найдем значения $x$ и $y$:
$x = 6k = 6 \cdot 2 = 12$.
$y = 8k = 8 \cdot 2 = 16$.

Ответ: $x = 12, y = 16$

10)

Дано:
Большой треугольник со сторонами $c, a, b$ в соотношении $c : a : b = 6 : 7 : 8$.
Малый треугольник со сторонами $x, y$.
Дополнительное условие: $y + x = 45$.
Треугольники подобны.

Найти:
$x, y$

Решение:
Поскольку треугольники подобны, их стороны пропорциональны согласно заданному соотношению $6 : 7 : 8$.
Как и в предыдущей задаче, предположим, что левая сторона малого треугольника ($y$) соответствует правой стороне большого ($b$), а правая сторона малого треугольника ($x$) соответствует левой стороне большого ($c$), чтобы получить положительный коэффициент подобия.
В большом треугольнике: $c$ - левая сторона (пропорция $6$), $b$ - правая сторона (пропорция $8$).
В малом треугольнике: $y$ - левая сторона, $x$ - правая сторона.
Тогда $y$ пропорционален $8$, а $x$ пропорционален $6$.
Пусть $k$ - коэффициент подобия.
Тогда $y = 8k$ и $x = 6k$.
Используем дополнительное условие $y + x = 45$:
$8k + 6k = 45$
$14k = 45$
$k = \frac{45}{14}$.
Теперь найдем значения $x$ и $y$:
$x = 6k = 6 \cdot \frac{45}{14} = 3 \cdot \frac{45}{7} = \frac{135}{7}$.
$y = 8k = 8 \cdot \frac{45}{14} = 4 \cdot \frac{45}{7} = \frac{180}{7}$.
(Проверка: $x + y = \frac{135}{7} + \frac{180}{7} = \frac{315}{7} = 45$, что соответствует условию).

Ответ: $x = \frac{135}{7}, y = \frac{180}{7}$