Страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ, |\vec{a} - \vec{b}| - ?$

Дано:

$|\vec{a}| = 2$

$|\vec{b}| = 3$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$

Перевод в систему СИ: Данные величины являются безразмерными или уже представлены в подходящих единицах для вычислений, поэтому перевод не требуется.

Найти:

$|\vec{a} - \vec{b}| - ?$

Решение:

Для нахождения модуля разности двух векторов воспользуемся формулой, основанной на скалярном произведении векторов:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скалярное произведение:

$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Известно, что $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим эти соотношения в формулу:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) + |\vec{b}|^2$

Теперь подставим заданные значения: $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.

Значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2)^2 - 2(2)(3)\cos(60^\circ) + (3)^2$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 - 2(2)(3)\left(\frac{1}{2}\right) + 9$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 - 6 + 9$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 7$

Чтобы найти $|\vec{a} - \vec{b}|$, возьмем квадратный корень из полученного значения:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$

Ответ:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$

7. 1) Какой из данных векторов равен $4\vec{i} - 2\vec{j}$?

2) Какой вектор имеет координаты (-4; 2)?

3) Запишите координаты векторов: $\vec{OB}$, $\vec{OD}$, $\vec{OF}$, $\vec{OC} + \vec{OF}$, $\vec{DE}$, $\vec{HC}$, $\vec{OD} + \vec{OB}$.

Дано:

На координатной плоскости заданы точки:

O $(0,0)$

A $(2,4)$

B $(4,2)$

C $(4,-2)$

D $(-2,-4)$

E $(-4,-2)$

F $(-4,2)$

H $(0,-4)$

Найти:

1) Вектор, равный $4\vec{i} - 2\vec{j}$.

2) Вектор с координатами $(-4; 2)$.

3) Координаты векторов $\vec{OB}$, $\vec{OD}$, $\vec{OF}$, $\vec{OC} + \vec{OF}$, $\vec{DE}$, $\vec{HC}$, $\vec{OD} + \vec{OB}$.

Решение:

1) Какой из данных векторов равен $4\vec{i} - 2\vec{j}$?

Вектор, заданный в виде $4\vec{i} - 2\vec{j}$, имеет координаты $(4, -2)$. Необходимо найти на рисунке вектор, который начинается в начале координат $O(0,0)$ и заканчивается в точке с координатами $(4, -2)$.

Построив вектор из начала координат $O(0,0)$ в точку $(4, -2)$, мы видим, что эта точка соответствует точке $C$ на графике. Следовательно, искомый вектор - это $\vec{OC}$.

Ответ: $\vec{OC}$

2) Какой вектор имеет координаты $(-4; 2)$?

Необходимо найти на рисунке вектор, который начинается в начале координат $O(0,0)$ и заканчивается в точке с координатами $(-4, 2)$.

Построив вектор из начала координат $O(0,0)$ в точку $(-4, 2)$, мы видим, что эта точка соответствует точке $F$ на графике. Следовательно, искомый вектор - это $\vec{OF}$.

Ответ: $\vec{OF}$

3) Запишите координаты векторов:

Вектор, начинающийся в начале координат $O(0,0)$ и заканчивающийся в точке $P(x_P, y_P)$, имеет координаты $(x_P, y_P)$.

Вектор, начинающийся в точке $P_1(x_1, y_1)$ и заканчивающийся в точке $P_2(x_2, y_2)$, имеет координаты $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$.

Для сложения векторов $\vec{a}(x_a, y_a)$ и $\vec{b}(x_b, y_b)$ координаты суммы $\vec{a} + \vec{b}$ равны $(x_a + x_b, y_a + y_b)$.

Координаты векторов:

Вектор $\vec{OB}$:

Точка $O$ имеет координаты $(0,0)$. Точка $B$ имеет координаты $(4,2)$.

Координаты вектора $\vec{OB}$ равны $(4-0, 2-0) = (4,2)$.

Ответ: $\vec{OB}(4,2)$

Вектор $\vec{OD}$:

Точка $O$ имеет координаты $(0,0)$. Точка $D$ имеет координаты $(-2,-4)$.

Координаты вектора $\vec{OD}$ равны $(-2-0, -4-0) = (-2,-4)$.

Ответ: $\vec{OD}(-2,-4)$

Вектор $\vec{OF}$:

Точка $O$ имеет координаты $(0,0)$. Точка $F$ имеет координаты $(-4,2)$.

Координаты вектора $\vec{OF}$ равны $(-4-0, 2-0) = (-4,2)$.

Ответ: $\vec{OF}(-4,2)$

Вектор $\vec{OC} + \vec{OF}$:

Вектор $\vec{OC}$ имеет координаты $(4,-2)$.

Вектор $\vec{OF}$ имеет координаты $(-4,2)$.

Координаты вектора $\vec{OC} + \vec{OF}$ равны $(4 + (-4), -2 + 2) = (0,0)$.

Ответ: $\vec{OC} + \vec{OF} (0,0)$

Вектор $\vec{DE}$:

Точка $D$ имеет координаты $(-2,-4)$. Точка $E$ имеет координаты $(-4,-2)$.

Координаты вектора $\vec{DE}$ равны $(-4 - (-2), -2 - (-4)) = (-4 + 2, -2 + 4) = (-2, 2)$.

Ответ: $\vec{DE}(-2,2)$

Вектор $\vec{HC}$:

Точка $H$ имеет координаты $(0,-4)$. Точка $C$ имеет координаты $(4,-2)$.

Координаты вектора $\vec{HC}$ равны $(4 - 0, -2 - (-4)) = (4, -2 + 4) = (4, 2)$.

Ответ: $\vec{HC}(4,2)$

Вектор $\vec{OD} + \vec{OB}$:

Вектор $\vec{OD}$ имеет координаты $(-2,-4)$.

Вектор $\vec{OB}$ имеет координаты $(4,2)$.

Координаты вектора $\vec{OD} + \vec{OB}$ равны $(-2 + 4, -4 + 2) = (2, -2)$.

Ответ: $\vec{OD} + \vec{OB} (2,-2)$

1. Постройте $ \Delta A_1 B_1 C_1 $, симметричный $ \Delta ABC $ относительно точки $ O $, и определите координаты точек $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $. Сделайте вывод.

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$ с вершинами, определенными по изображению:

• $A(-1; 2)$
• $B(2; 3)$
• $C(3; -2)$

Точка симметрии - начало координат $O(0; 0)$.

Найти:

• Координаты вершин треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, симметричного $\triangle ABC$ относительно точки $O$.
• Построить $\triangle A_1B_1C_1$.
• Сделать вывод.

Решение:

Точечная симметрия относительно начала координат $O(0;0)$ преобразует произвольную точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(-x; -y)$.

Определите координаты точек $A_1, B_1, C_1$

Применяем правило точечной симметрии к каждой вершине исходного треугольника $\triangle ABC$:

• Для точки $A(-1; 2)$ симметричная точка $A_1$ будет иметь координаты: $A_1(-(-1); -(2)) = A_1(1; -2)$.
• Для точки $B(2; 3)$ симметричная точка $B_1$ будет иметь координаты: $B_1(-(2); -(3)) = B_1(-2; -3)$.
• Для точки $C(3; -2)$ симметричная точка $C_1$ будет иметь координаты: $C_1(-(3); -(-2)) = C_1(-3; 2)$.

Ответ: Координаты точек: $A_1(1; -2)$, $B_1(-2; -3)$, $C_1(-3; 2)$.

Постройте $\triangle A_1B_1C_1$

Для построения треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ необходимо отметить найденные точки $A_1(1; -2)$, $B_1(-2; -3)$ и $C_1(-3; 2)$ на координатной плоскости. Затем соединить эти три точки отрезками $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $C_1A_1$. Полученный треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ будет симметричен исходному треугольнику $\triangle ABC$ относительно начала координат.

Ответ: Построение выполняется путем отметки точек $A_1(1; -2)$, $B_1(-2; -3)$, $C_1(-3; 2)$ на координатной плоскости и соединения их отрезками.

Сделайте вывод

При точечной симметрии относительно начала координат $O(0;0)$ координаты каждой точки $(x; y)$ изменяют свой знак на противоположный, становясь $(-x; -y)$. При этом преобразовании геометрическая фигура (в данном случае треугольник) переходит в равную ей фигуру, то есть сохраняются ее форма, размеры сторон и величины углов. Фактически, точечная симметрия относительно начала координат является частным случаем поворота фигуры на $180^\circ$ вокруг этой точки.

Ответ: Вывод сделан.

2. Найдите координаты точек

$M_1 = Z_o(M), H_1 = Z_o(H), F_1 = Z_o(F)$, если $M(1; 3), H(-2; -4), F(5; -2)$.

Дано:

точки $M(1; 3)$, $H(-2; -4)$, $F(5; -2)$.

Отображение $Z_O$ — центральная симметрия относительно начала координат $O(0;0)$.

Найти:

координаты точек $M_1$, $H_1$, $F_1$, где $M_1 = Z_O(M)$, $H_1 = Z_O(H)$, $F_1 = Z_O(F)$.

Решение:

Центральная симметрия относительно начала координат $O(0;0)$ преобразует точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(-x; -y)$. То есть, если дана точка $P(x; y)$, то её образ при центральной симметрии относительно начала координат $Z_O(P)$ будет иметь координаты $P_1(-x; -y)$.

Координаты точки $M_1$:

Для точки $M(1; 3)$ применяем правило центральной симметрии: $x_M = 1$, $y_M = 3$. Тогда координаты $M_1$ будут $(-x_M; -y_M) = (-1; -3)$.

Ответ: $M_1(-1; -3)$

Координаты точки $H_1$:

Для точки $H(-2; -4)$ применяем правило центральной симметрии: $x_H = -2$, $y_H = -4$. Тогда координаты $H_1$ будут $(-x_H; -y_H) = (-(-2); -(-4)) = (2; 4)$.

Ответ: $H_1(2; 4)$

Координаты точки $F_1$:

Для точки $F(5; -2)$ применяем правило центральной симметрии: $x_F = 5$, $y_F = -2$. Тогда координаты $F_1$ будут $(-x_F; -y_F) = (-5; -(-2)) = (-5; 2)$.

Ответ: $F_1(-5; 2)$