Страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Постройте $\triangle A_1B_1C_1$, симметричный $\triangle ABC$ относительно оси $Ox$, и определите координаты точек $A_1$, $B_1$, $C_1$. Сделайте вывод.

Дано:

Координаты вершин треугольника $\triangle ABC$:

$A(-3, 2)$

$B(1, 3)$

$C(4, -2)$

Ось симметрии: $Ox$

Найти:

Координаты вершин треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, симметричного $\triangle ABC$ относительно оси $Ox$.

Сделать вывод.

Решение

Симметрия относительно оси $Ox$ означает, что для любой точки с координатами $(x, y)$ ее симметричное отображение будет иметь координаты $(x, -y)$. X-координата остается неизменной, а Y-координата меняет свой знак на противоположный.

Постройте $\triangle A_1B_1C_1$, симметричный $\triangle ABC$ относительно оси $Ox$

Для построения симметричного треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ необходимо сначала определить координаты его вершин $A_1$, $B_1$, $C_1$.

Исходя из правила симметрии относительно оси $Ox$ (координата $x$ остается прежней, координата $y$ меняет знак):

$A(-3, 2) \rightarrow A_1(-3, -2)$

$B(1, 3) \rightarrow B_1(1, -3)$

$C(4, -2) \rightarrow C_1(4, -(-2)) = C_1(4, 2)$

Затем эти точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ следует отметить на координатной плоскости и соединить их отрезками $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1A_1$ для получения треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Построение выполняется путем отражения каждой вершины относительно оси $Ox$ с использованием найденных координат $A_1(-3, -2)$, $B_1(1, -3)$, $C_1(4, 2)$.

Определите координаты точек $A_1, B_1, C_1$

Исходные координаты вершин треугольника $\triangle ABC$ из графика:

$A(-3, 2)$

$B(1, 3)$

$C(4, -2)$

При симметрии относительно оси $Ox$, x-координата точки остается прежней, а y-координата меняет знак на противоположный. То есть, если точка имеет координаты $(x, y)$, то ее симметричная точка относительно оси $Ox$ будет иметь координаты $(x, -y)$.

Применяя это правило к вершинам $\triangle ABC$:

$A(-3, 2) \rightarrow A_1(-3, -2)$

$B(1, 3) \rightarrow B_1(1, -3)$

$C(4, -2) \rightarrow C_1(4, -(-2)) = C_1(4, 2)$

Ответ: Координаты точек: $A_1(-3, -2)$, $B_1(1, -3)$, $C_1(4, 2)$.

Сделайте вывод

При осевой симметрии относительно оси $Ox$ x-координата каждой точки остается неизменной, а y-координата меняет свой знак на противоположный. Геометрически это означает, что фигура отражается относительно горизонтальной оси, как в зеркале.

Ответ: При симметрии относительно оси $Ox$ координата $x$ точки остается неизменной, а координата $y$ меняет свой знак на противоположный.

4. Найдите координаты точек $M_1 = S_{Ox}(M)$, $H_1 = S_{Ox}(H)$, $F_1 = S_{Ox}(F)$, если $M(1; 3)$, $H(-2; -4)$, $F(5; -2)$.

Дано

Координаты точек: $M(1; 3)$, $H(-2; -4)$, $F(5; -2)$.

Требуется найти координаты точек $M_1 = S_{Ox}(M)$, $H_1 = S_{Ox}(H)$, $F_1 = S_{Ox}(F)$, где $S_{Ox}$ обозначает симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Найти

Координаты точек $M_1$, $H_1$, $F_1$.

Решение

При отражении точки $(x; y)$ относительно оси абсцисс ($Ox$) ее координаты изменяются по правилу $(x; y) \to (x; -y)$. То есть, абсцисса (координата $x$) остается неизменной, а ордината (координата $y$) меняет свой знак на противоположный.

Для точки $M_1$

Исходная точка $M(1; 3)$.

Применяя правило отражения относительно оси $Ox$: $x_1 = 1$, $y_1 = -(3) = -3$.

Ответ: $M_1(1; -3)$

Для точки $H_1$

Исходная точка $H(-2; -4)$.

Применяя правило отражения относительно оси $Ox$: $x_1 = -2$, $y_1 = -(-4) = 4$.

Ответ: $H_1(-2; 4)$

Для точки $F_1$

Исходная точка $F(5; -2)$.

Применяя правило отражения относительно оси $Ox$: $x_1 = 5$, $y_1 = -(-2) = 2$.

Ответ: $F_1(5; 2)$

5. Постройте $\Delta A_1B_1C_1$, симметричный $\Delta ABC$ относительно оси $Oy$, и определите координаты точек $A_1, B_1, C_1$. Сделайте вывод.

Дано:

треугольник $\triangle ABC$ с вершинами на координатной плоскости, координаты которых определены по изображению:

• $A(-2, 2)$
• $B(1, 3)$
• $C(3, -2)$

Найти:

построить треугольник $\triangle A_1B_1C_1$, симметричный $\triangle ABC$ относительно оси $Oy$, определить координаты его вершин $A_1, B_1, C_1$, и сделать вывод о правиле преобразования координат при такой симметрии.

Решение:

Постройте $\triangle A_1B_1C_1$

При симметрии относительно оси $Oy$ координата $x$ точки меняет знак на противоположный, а координата $y$ остается неизменной. То есть, если исходная точка имеет координаты $(x, y)$, то её симметричное отображение относительно оси $Oy$ будет иметь координаты $(-x, y)$.

Применяя это правило к вершинам треугольника $\triangle ABC$, получаем координаты вершин $\triangle A_1B_1C_1$:

• для точки $A(-2, 2)$: $A_1 = (-(-2), 2) = (2, 2)$
• для точки $B(1, 3)$: $B_1 = (-1, 3)$
• для точки $C(3, -2)$: $C_1 = (-3, -2)$

Построение треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ выполняется на той же координатной плоскости путем отметки точек $A_1(2, 2)$, $B_1(-1, 3)$, $C_1(-3, -2)$ и соединения их отрезками. В текстовом формате непосредственно отобразить построение невозможно.

Ответ: Построение треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ выполняется по найденным координатам вершин $A_1(2, 2)$, $B_1(-1, 3)$, $C_1(-3, -2)$.

Определите координаты точек $A_1, B_1, C_1$

Координаты вершин симметричного треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ были определены в процессе нахождения для построения:

• $A_1 = (2, 2)$
• $B_1 = (-1, 3)$
• $C_1 = (-3, -2)$

Ответ: Координаты точек: $A_1(2, 2)$, $B_1(-1, 3)$, $C_1(-3, -2)$.

Сделайте вывод

При симметрии точки $(x, y)$ относительно оси $Oy$ происходит изменение знака её абсциссы (координаты $x$), тогда как ордината (координата $y$) остается неизменной. Это преобразование можно представить следующим образом: $ (x, y) \rightarrow (-x, y) $.
Данное правило применимо ко всем точкам фигуры, что позволяет построить её симметричное отображение.

Ответ: При симметрии относительно оси $Oy$ координата $x$ меняет знак на противоположный, а координата $y$ остается неизменной. Правило преобразования координат: $ (x, y) \rightarrow (-x, y) $.

6. Найдите координаты точек $M_1 = S_{O_y}(M)$, $H_1 = S_{O_y}(H)$, $F_1 = S_{O_y}(F)$, если $M(1; 3)$, $H(-2; -4)$, $F(5; -2)$.

Дано:

Точки: $M(1; 3)$, $H(-2; -4)$, $F(5; -2)$.

Преобразование: $S_{Oy}$ (симметрия относительно оси Oy).

Найти:

Координаты точек $M_1 = S_{Oy}(M)$, $H_1 = S_{Oy}(H)$, $F_1 = S_{Oy}(F)$.

Решение:

Симметрия относительно оси Oy (оси ординат) преобразует точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(-x; y)$. При этом x-координата меняет знак на противоположный, а y-координата остается неизменной.

Найдем координаты точки $M_1$:

Точка $M$ имеет координаты $(1; 3)$.

$M_1 = S_{Oy}(M) = (-1; 3)$.

Найдем координаты точки $H_1$:

Точка $H$ имеет координаты $(-2; -4)$.

$H_1 = S_{Oy}(H) = (-(-2); -4) = (2; -4)$.

Найдем координаты точки $F_1$:

Точка $F$ имеет координаты $(5; -2)$.

$F_1 = S_{Oy}(F) = (-5; -2)$.

Ответ:

$M_1(-1; 3)$, $H_1(2; -4)$, $F_1(-5; -2)$.

7. Постройте $\Delta A_1 B_1 C_1$, симметричный $\Delta ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(2; -1)$, и определите координаты точек $A_1, B_1, C_1$. Сделайте вывод.

Дано:

Исходный треугольник $\triangle ABC$ на координатной плоскости.

Координаты вершин треугольника $ABC$ по изображению:

• $A(-4, 2)$

• $B(-1, 3)$

• $C(1, -2)$

Вектор параллельного переноса $\vec{a}(2; -1)$.

Найти:

Координаты вершин $A_1, B_1, C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, полученного параллельным переносом $\triangle ABC$ на вектор $\vec{a}$.

Описание построения треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

Вывод о свойствах фигуры после параллельного переноса.

Решение:

Определение координат точек $A_1, B_1, C_1$ при параллельном переносе

При параллельном переносе точки $P(x, y)$ на вектор $\vec{a}(x_a, y_a)$, ее новые координаты $P'(x', y')$ определяются по формулам:

$x' = x + x_a$

$y' = y + y_a$

В данном случае, вектор переноса $\vec{a}(2; -1)$, что означает $x_a = 2$ и $y_a = -1$.

• Для точки $A(-4, 2)$:

  $x_{A_1} = -4 + 2 = -2$

  $y_{A_1} = 2 + (-1) = 1$

  Следовательно, $A_1(-2, 1)$.

• Для точки $B(-1, 3)$:

  $x_{B_1} = -1 + 2 = 1$

  $y_{B_1} = 3 + (-1) = 2$

  Следовательно, $B_1(1, 2)$.

• Для точки $C(1, -2)$:

  $x_{C_1} = 1 + 2 = 3$

  $y_{C_1} = -2 + (-1) = -3$

  Следовательно, $C_1(3, -3)$.

Ответ: Координаты точек: $A_1(-2, 1)$, $B_1(1, 2)$, $C_1(3, -3)$.

Построение $\Delta A_1B_1C_1$

Для построения треугольника $A_1B_1C_1$ на координатной плоскости необходимо отметить найденные координаты вершин $A_1, B_1, C_1$ и соединить их отрезками. Каждая точка исходного треугольника $ABC$ перемещается на 2 единицы вправо (положительное направление оси X) и на 1 единицу вниз (отрицательное направление оси Y) согласно вектору $\vec{a}(2; -1)$.

• Отметьте точку $A_1(-2, 1)$.

• Отметьте точку $B_1(1, 2)$.

• Отметьте точку $C_1(3, -3)$.

Соедините точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками, чтобы получить треугольник $\triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ построен с вершинами $A_1(-2, 1)$, $B_1(1, 2)$, $C_1(3, -3)$.

Вывод

Параллельный перенос является одним из видов изометрических преобразований. Это означает, что при параллельном переносе сохраняются расстояния между точками, углы, а следовательно, и форма, и размеры фигуры. Ориентация фигуры также остается неизменной. Таким образом, треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ является конгруэнтным (равным) исходному треугольнику $\triangle ABC$, что символически записывается как $\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle ABC$.

Ответ: Параллельный перенос является изометрическим преобразованием, сохраняющим форму, размеры и ориентацию фигуры; $\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle ABC$.