Страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Заполните таблицу:

1)

$|\vec{a}|$: 2

$|\vec{b}|$: 3

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$: $30^{\circ}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

2)

$|\vec{a}|$: $\sqrt{2}$

$|\vec{b}|$:

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$: $45^{\circ}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: 5

3)

$|\vec{a}|$: $\sqrt{3}$

$|\vec{b}|$: 4

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: -6

4)

$|\vec{a}|$: 3

$|\vec{b}|$: 5

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$: $120^{\circ}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

5)

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$: 4

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$: $60^{\circ}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: 5

6)

$|\vec{a}|$: 1

$|\vec{b}|$: $\sqrt{3}$

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: 1,5

1) Дано:

$|\vec{a}| = 2$

$|\vec{b}| = 3$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$

Найти:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим известные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(30^\circ)$

Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{3}$

2) Дано:

$|\vec{a}| = \sqrt{2}$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

Найти:

$|\vec{b}|$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим известные значения:

$5 = \sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(45^\circ)$

Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$5 = \sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$5 = 2 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{2}$

$5 = |\vec{b}|$.

Ответ: $5$

3) Дано:

$|\vec{a}| = \sqrt{3}$

$|\vec{b}| = 4$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$

Найти:

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Выразим косинус угла:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Подставим известные значения:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{-6}{\sqrt{3} \cdot 4}$

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{-3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

Так как $\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, угол $\angle(\vec{a}, \vec{b})$ равен $150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$

4) Дано:

$|\vec{a}| = 3$

$|\vec{b}| = 5$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ$

Найти:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим известные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 15 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -7.5$.

Ответ: $-7.5$

5) Дано:

$|\vec{b}| = 4$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

Найти:

$|\vec{a}|$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Выразим $|\vec{a}|$:

$|\vec{a}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))}$

Подставим известные значения:

$|\vec{a}| = \frac{5}{4 \cdot \cos(60^\circ)}$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$|\vec{a}| = \frac{5}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Ответ: $2.5$

6) Дано:

$|\vec{a}| = 1$

$|\vec{b}| = \sqrt{3}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1.5$

Найти:

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Выразим косинус угла:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Подставим известные значения:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{1.5}{1 \cdot \sqrt{3}}$

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{1.5}{\sqrt{3}} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как $\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, угол $\angle(\vec{a}, \vec{b})$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

2. Заполните таблицу:

1)

$\vec{a}$: $(-2; 3)$

$\vec{b}$: $(2; 3)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

2)

$\vec{a}$: $(1; -2)$

$\vec{b}$: $(\_; 3)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: $2$

3)

$\vec{a}$: $(\frac{1}{3}, \frac{2}{5})$

$\vec{b}$: $(\frac{3}{4}, \frac{5}{8})$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

4)

$\vec{a}$: $(-\sqrt{2}; \_)$

$\vec{b}$: $(2\sqrt{2}; 3)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: $-4$

5)

$\vec{a}$: $(2\sqrt{5}; -1)$

$\vec{b}$: $(3; -\sqrt{5})$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

6)

$\vec{a}$: $(\frac{2}{7}; 3\frac{2}{5})$

$\vec{b}$: $(-14; \_)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: $-3$

1)

Дано:
$\vec{a} = (-2; 3)$
$\vec{b} = (2; 3)$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:
Для вычисления скалярного произведения двух векторов $\vec{a} = (a_x; a_y)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y)$ используется формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем значения из условия:
$a_x = -2$, $a_y = 3$
$b_x = 2$, $b_y = 3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 2 + 3 \cdot 3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -4 + 9$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$.

Ответ: 5

2)

Дано:
$\vec{a} = (1; -2)$
$\vec{b} = (x; 3)$ (где $x$ - неизвестная координата)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$x$ (первая координата вектора $\vec{b}$)

Решение:
Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем известные значения:
$a_x = 1$, $a_y = -2$
$b_x = x$, $b_y = 3$
Скалярное произведение равно 2.
$1 \cdot x + (-2) \cdot 3 = 2$
$x - 6 = 2$
Для нахождения $x$ перенесем -6 в правую часть уравнения:
$x = 2 + 6$
$x = 8$.

Ответ: 8

3)

Дано:
$\vec{a} = \left(\frac{1}{3}; \frac{2}{5}\right)$
$\vec{b} = \left(\frac{3}{4}; \frac{5}{8}\right)$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:
Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем значения координат:
$a_x = \frac{1}{3}$, $a_y = \frac{2}{5}$
$b_x = \frac{3}{4}$, $b_y = \frac{5}{8}$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(\frac{5}{8}\right)$
Выполним умножение дробей:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
$\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 8} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$
Теперь сложим полученные значения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

4)

Дано:
$\vec{a} = (-\sqrt{2}; y)$ (где $y$ - неизвестная координата)
$\vec{b} = (2\sqrt{2}; 3)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$y$ (вторая координата вектора $\vec{a}$)

Решение:
Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем известные значения:
$a_x = -\sqrt{2}$, $a_y = y$
$b_x = 2\sqrt{2}$, $b_y = 3$
Скалярное произведение равно -4.
$(-\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) + y \cdot 3 = -4$
$-2 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) + 3y = -4$
$-2 \cdot 2 + 3y = -4$
$-4 + 3y = -4$
Для нахождения $y$ перенесем -4 в правую часть уравнения:
$3y = -4 + 4$
$3y = 0$
$y = 0$.

Ответ: 0

5)

Дано:
$\vec{a} = (2\sqrt{5}; -1)$
$\vec{b} = (3; -\sqrt{5})$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:
Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем значения координат:
$a_x = 2\sqrt{5}$, $a_y = -1$
$b_x = 3$, $b_y = -\sqrt{5}$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\sqrt{5}) \cdot 3 + (-1) \cdot (-\sqrt{5})$
Выполним умножение:
$(2\sqrt{5}) \cdot 3 = 6\sqrt{5}$
$(-1) \cdot (-\sqrt{5}) = \sqrt{5}$
Теперь сложим полученные значения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6\sqrt{5} + \sqrt{5} = 7\sqrt{5}$.

Ответ: $7\sqrt{5}$

6)

Дано:
$\vec{a} = \left(\frac{2}{7}; 3\frac{2}{5}\right)$
$\vec{b} = (-14; y)$ (где $y$ - неизвестная координата)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$y$ (вторая координата вектора $\vec{b}$)

Решение:
Сначала преобразуем смешанную дробь $3\frac{2}{5}$ в неправильную:
$3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5}$.
Таким образом, $\vec{a} = \left(\frac{2}{7}; \frac{17}{5}\right)$.
Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем известные значения:
$a_x = \frac{2}{7}$, $a_y = \frac{17}{5}$
$b_x = -14$, $b_y = y$
Скалярное произведение равно -3.
$\left(\frac{2}{7}\right) \cdot (-14) + \left(\frac{17}{5}\right) \cdot y = -3$
Выполним умножение:
$\frac{2}{7} \cdot (-14) = \frac{2 \cdot (-14)}{7} = \frac{-28}{7} = -4$
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
$-4 + \frac{17}{5}y = -3$
Перенесем -4 в правую часть уравнения:
$\frac{17}{5}y = -3 + 4$
$\frac{17}{5}y = 1$
Для нахождения $y$ умножим обе стороны уравнения на обратную дробь $\frac{5}{17}$:
$y = 1 \cdot \frac{5}{17}$
$y = \frac{5}{17}$.

Ответ: $\frac{5}{17}$

3. Вычислите:

1)

$\vec{CB} \cdot \vec{CA} - ? \vec{BC} \cdot \vec{BA} - ?$

$\vec{AB} \cdot \vec{CA} - ? $

2)

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} - ? \vec{DB} \cdot \vec{DC} - ?$

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} - ? $

Дано Треугольник ABC, прямоугольный в C ($\angle C = 90^\circ$). Длина гипотенузы $AB = 6$. Угол $A = 30^\circ$.

Найти: $\vec{CB} \cdot \vec{CA}$ $\vec{BC} \cdot \vec{BA}$ $\vec{AB} \cdot \vec{CA}$

Решение Сначала найдем длины сторон BC и AC. В прямоугольном треугольнике ABC: $BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 6 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$. $AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 6 \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Угол $B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

1) $\vec{CB} \cdot \vec{CA}$ Векторы $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$ перпендикулярны, так как $\angle BCA = 90^\circ$. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. $\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(90^\circ) = BC \cdot AC \cdot 0 = 0$. Ответ: $0$

2) $\vec{BC} \cdot \vec{BA}$ Для нахождения скалярного произведения $\vec{BC} \cdot \vec{BA}$ используем формулу $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta)$, где $\theta$ - угол между векторами. Угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ - это угол $\angle B$ треугольника ABC. $\angle B = 60^\circ$. $|\vec{BC}| = BC = 3$. $|\vec{BA}| = AB = 6$. $\vec{BC} \cdot \vec{BA} = BC \cdot BA \cdot \cos(60^\circ) = 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 9$. Ответ: $9$

3) $\vec{AB} \cdot \vec{CA}$ Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{CA} = -\vec{AC}$. Тогда $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = \vec{AB} \cdot (-\vec{AC}) = -(\vec{AB} \cdot \vec{AC})$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ - это угол $\angle BAC = 30^\circ$. $|\vec{AB}| = AB = 6$. $|\vec{AC}| = AC = 3\sqrt{3}$. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \cdot 3 = 27$. Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = -27$. Ответ: $-27$

Дано Треугольник ABC. Отрезок BD является высотой к стороне AC ($\angle BDA = 90^\circ$). Длина стороны $AB = 4$. Углы при основании $\angle A$ и $\angle C$ равны (что означает, что $\triangle ABC$ равнобедренный с $AB=BC$). BD также является биссектрисой угла $\angle ABC$ (показано одинаковыми дугами). Точка D является серединой стороны AC (показано одинаковыми метками на AD и DC). Из того, что BD является высотой и медианой, следует, что $\triangle ABC$ является равнобедренным с $AB=BC$. Поскольку $AB=4$, то $BC=4$. Для того чтобы получить числовые значения, как предполагает слово "Вычислите", примем, что $\triangle ABC$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой, и все стороны равны. Таким образом, $AB=BC=AC=4$.

Найти: $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ $\vec{DB} \cdot \vec{DC}$ $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$

Решение Принимаем, что $\triangle ABC$ - равносторонний со стороной 4. Тогда $AB = BC = AC = 4$. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$. Поскольку D - середина AC, то $AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Высота $BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ - это угол $\angle A = 60^\circ$. $|\vec{AB}| = 4$. $|\vec{AC}| = 4$. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle A) = 4 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$. Ответ: $8$

2) $\vec{DB} \cdot \vec{DC}$ Векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ перпендикулярны, так как BD - высота, а D лежит на AC, следовательно, $\angle BDC = 90^\circ$. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. $\vec{DB} \cdot \vec{DC} = |\vec{DB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(90^\circ) = BD \cdot DC \cdot 0 = 0$. Ответ: $0$

3) $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$ Вектор $\vec{CD}$ направлен от C к D. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Вектор $\vec{CD}$ лежит на прямой AC и направлен противоположно вектору $\vec{AC}$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен $60^\circ$. Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ (который направлен от C к D, то есть противоположно $\vec{AC}$) будет $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. $|\vec{AB}| = 4$. $|\vec{CD}| = DC = 2$. $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(120^\circ) = 4 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$. Ответ: $-4$

4. Определите значение x, если $\vec{a} \perp \vec{b}$:

1)

$\vec{a} = (2; x)$

$\vec{b} = (-3; 2)$

2)

$\vec{a} = (x; 3)$

$\vec{b} = (1; x + 2)$

3)

$\vec{a} = (x - 1; -2)$

$\vec{b} = (-4; x)$

4)

$\vec{a} = (x^2; 3)$

$\vec{b} = (1; -x)$

5)

$\vec{a} = (2; x + 1)$

$\vec{b} = (3; x)$

6)

$\vec{a} = (3; 2)$

$\vec{b} = (x; 3)$

1)

Дано:

векторы $\vec{a} = (2; x)$, $\vec{b} = (-3; 2)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Если два вектора $\vec{a} = (a_x, a_y)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y)$ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов в формулу скалярного произведения:

$2 \cdot (-3) + x \cdot 2 = 0$

$-6 + 2x = 0$

$2x = 6$

$x = \frac{6}{2}$

$x = 3$

Ответ:

$x = 3$

2)

Дано:

векторы $\vec{a} = (x; 3)$, $\vec{b} = (1; x+2)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности векторов: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов:

$x \cdot 1 + 3 \cdot (x+2) = 0$

$x + 3x + 6 = 0$

$4x + 6 = 0$

$4x = -6$

$x = -\frac{6}{4}$

$x = -\frac{3}{2}$

$x = -1.5$

Ответ:

$x = -1.5$

3)

Дано:

векторы $\vec{a} = (x-1; -2)$, $\vec{b} = (-4; x)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности векторов: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов:

$(x-1) \cdot (-4) + (-2) \cdot x = 0$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$-4x + 4 - 2x = 0$

$-6x + 4 = 0$

$-6x = -4$

$x = \frac{-4}{-6}$

$x = \frac{2}{3}$

Ответ:

$x = \frac{2}{3}$

4)

Дано:

векторы $\vec{a} = (x^2; 3)$, $\vec{b} = (1; -x)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности векторов: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов:

$x^2 \cdot 1 + 3 \cdot (-x) = 0$

$x^2 - 3x = 0$

Выносим общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x = 0$ или $x - 3 = 0$

$x = 0$ или $x = 3$

Ответ:

$x = 0$ или $x = 3$

5)

Дано:

векторы $\vec{a} = (2; x+1)$, $\vec{b} = (3; x)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности векторов: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов:

$2 \cdot 3 + (x+1) \cdot x = 0$

$6 + x^2 + x = 0$

Перепишем квадратное уравнение в стандартном виде:

$x^2 + x + 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6$

$D = 1 - 24$

$D = -23$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, нет действительных значений $x$, при которых данные векторы были бы перпендикулярны.

Ответ:

нет действительных решений

6)

Дано:

векторы $\vec{a} = (3; 2)$, $\vec{b} = (x; 3)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности векторов: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов:

$3 \cdot x + 2 \cdot 3 = 0$

$3x + 6 = 0$

$3x = -6$

$x = -\frac{6}{3}$

$x = -2$

Ответ:

$x = -2$