Номер 4, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Определите значение x, если $\vec{a} \perp \vec{b}$:

1)

$\vec{a} = (2; x)$

$\vec{b} = (-3; 2)$

2)

$\vec{a} = (x; 3)$

$\vec{b} = (1; x + 2)$

3)

$\vec{a} = (x - 1; -2)$

$\vec{b} = (-4; x)$

4)

$\vec{a} = (x^2; 3)$

$\vec{b} = (1; -x)$

5)

$\vec{a} = (2; x + 1)$

$\vec{b} = (3; x)$

6)

$\vec{a} = (3; 2)$

$\vec{b} = (x; 3)$

1)

Дано:

векторы $\vec{a} = (2; x)$, $\vec{b} = (-3; 2)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Если два вектора $\vec{a} = (a_x, a_y)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y)$ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов в формулу скалярного произведения:

$2 \cdot (-3) + x \cdot 2 = 0$

$-6 + 2x = 0$

$2x = 6$

$x = \frac{6}{2}$

$x = 3$

Ответ:

$x = 3$

2)

Дано:

векторы $\vec{a} = (x; 3)$, $\vec{b} = (1; x+2)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности векторов: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов:

$x \cdot 1 + 3 \cdot (x+2) = 0$

$x + 3x + 6 = 0$

$4x + 6 = 0$

$4x = -6$

$x = -\frac{6}{4}$

$x = -\frac{3}{2}$

$x = -1.5$

Ответ:

$x = -1.5$

3)

Дано:

векторы $\vec{a} = (x-1; -2)$, $\vec{b} = (-4; x)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности векторов: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов:

$(x-1) \cdot (-4) + (-2) \cdot x = 0$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$-4x + 4 - 2x = 0$

$-6x + 4 = 0$

$-6x = -4$

$x = \frac{-4}{-6}$

$x = \frac{2}{3}$

Ответ:

$x = \frac{2}{3}$

4)

Дано:

векторы $\vec{a} = (x^2; 3)$, $\vec{b} = (1; -x)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности векторов: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов:

$x^2 \cdot 1 + 3 \cdot (-x) = 0$

$x^2 - 3x = 0$

Выносим общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x = 0$ или $x - 3 = 0$

$x = 0$ или $x = 3$

Ответ:

$x = 0$ или $x = 3$

5)

Дано:

векторы $\vec{a} = (2; x+1)$, $\vec{b} = (3; x)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности векторов: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов:

$2 \cdot 3 + (x+1) \cdot x = 0$

$6 + x^2 + x = 0$

Перепишем квадратное уравнение в стандартном виде:

$x^2 + x + 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6$

$D = 1 - 24$

$D = -23$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, нет действительных значений $x$, при которых данные векторы были бы перпендикулярны.

Ответ:

нет действительных решений

6)

Дано:

векторы $\vec{a} = (3; 2)$, $\vec{b} = (x; 3)$;

условие перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Найти:

значение $x$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности векторов: $a_x b_x + a_y b_y = 0$.

Подставляем координаты векторов:

$3 \cdot x + 2 \cdot 3 = 0$

$3x + 6 = 0$

$3x = -6$

$x = -\frac{6}{3}$

$x = -2$

Ответ:

$x = -2$