Номер 3, страница 216 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Найдите неизвестные координаты, если $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ – коллинеарные векторы:

1. $ \vec{a} = (-2; 3) $

$ \vec{b} = (6; y) $

2. $ \vec{a} = (x; -1) $

$ \vec{b} = (3; -4) $

3. $ \vec{a} = (5; y) $

$ \vec{b} = (\frac{1}{3}; 3) $

4. $ \vec{a} = (\sqrt{3}; \sqrt{2}) $

$ \vec{b} = (x; 3\sqrt{2}) $

5. $ \vec{a} = (x; 1\frac{2}{3}) $

$ \vec{b} = (6; 2) $

6. $ \vec{a} = (3\frac{1}{3}; 5) $

$ \vec{b} = (-2; y) $

Дано: Векторы $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$ коллинеарны.

Перевод в систему СИ: Не требуется, так как величины являются координатами векторов.

Найти: Неизвестные координаты (x или y) для каждой пары векторов, представленных в таблице.

Решение:

Условие коллинеарности двух векторов $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$ выражается равенством отношений их соответствующих координат: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$. Это условие эквивалентно $x_1 y_2 = x_2 y_1$.

Для первой пары векторов $\vec{a} = (-2; 3)$ и $\vec{b} = (6; y)$:

$(-2) \cdot y = 6 \cdot 3$

$-2y = 18$

$y = \frac{18}{-2}$

$y = -9$

Ответ: $y = -9$

Для второй пары векторов $\vec{a} = (x; -1)$ и $\vec{b} = (3; -4)$:

$x \cdot (-4) = 3 \cdot (-1)$

$-4x = -3$

$x = \frac{-3}{-4}$

$x = \frac{3}{4}$

Ответ: $x = \frac{3}{4}$

Для третьей пары векторов $\vec{a} = (5; y)$ и $\vec{b} = (\frac{1}{3}; 3)$:

$5 \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot y$

$15 = \frac{y}{3}$

$y = 15 \cdot 3$

$y = 45$

Ответ: $y = 45$

Для четвертой пары векторов $\vec{a} = (\sqrt{3}; \sqrt{2})$ и $\vec{b} = (x; 3\sqrt{2})$:

$\sqrt{3} \cdot (3\sqrt{2}) = x \cdot \sqrt{2}$

$3\sqrt{6} = x\sqrt{2}$

$x = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

$x = 3\sqrt{\frac{6}{2}}$

$x = 3\sqrt{3}$

Ответ: $x = 3\sqrt{3}$

Для пятой пары векторов $\vec{a} = (x; 1\frac{2}{3})$ и $\vec{b} = (6; 2)$. Сначала преобразуем смешанную дробь в обыкновенную: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Тогда $\vec{a} = (x; \frac{5}{3})$. Применяем условие коллинеарности:

$x \cdot 2 = 6 \cdot \frac{5}{3}$

$2x = \frac{30}{3}$

$2x = 10$

$x = \frac{10}{2}$

$x = 5$

Ответ: $x = 5$

Для шестой пары векторов $\vec{a} = (3\frac{1}{3}; 5)$ и $\vec{b} = (-2; y)$. Сначала преобразуем смешанную дробь в обыкновенную: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Тогда $\vec{a} = (\frac{10}{3}; 5)$. Применяем условие коллинеарности:

$\frac{10}{3} \cdot y = (-2) \cdot 5$

$\frac{10y}{3} = -10$

$10y = -10 \cdot 3$

$10y = -30$

$y = \frac{-30}{10}$

$y = -3$

Ответ: $y = -3$