Номер 5, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Заполните таблицу, здесь $\alpha = \angle(\vec{a}, \vec{b})$:

1)

$\vec{a}$: $(-1; 1)$

$\vec{b}$: $(0; 1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

2)

$\vec{a}$: $(2; 3)$

$\vec{b}$: $(-3; 0)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

3)

$\vec{a}$: $(-2; -1)$

$\vec{b}$: $(1; 3)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

4)

$\vec{a}$: $(1; -2)$

$\vec{b}$: $(4; 3)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

5)

$\vec{a}$: $(1,5; 2)$

$\vec{b}$: $(2; -1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

6)

$\vec{a}$: $(3; -4)$

$\vec{b}$: $(-6; 8)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

1)

Дано:

$ \vec{a} = (-1; 1) $

$ \vec{b} = (0; 1) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (1)(1) = 0 + 1 = 1 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1 $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 $, $ |\vec{a}| = \sqrt{2} $, $ |\vec{b}| = 1 $, $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

2)

Дано:

$ \vec{a} = (2; 3) $

$ \vec{b} = (-3; 0) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-3) + (3)(0) = -6 + 0 = -6 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 0} = \sqrt{9} = 3 $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-6}{\sqrt{13} \cdot 3} = \frac{-2}{\sqrt{13}} = \frac{-2\sqrt{13}}{13} $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -6 $, $ |\vec{a}| = \sqrt{13} $, $ |\vec{b}| = 3 $, $ \cos \alpha = \frac{-2\sqrt{13}}{13} $.

3)

Дано:

$ \vec{a} = (-2; -1) $

$ \vec{b} = (1; 3) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(1) + (-1)(3) = -2 - 3 = -5 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{2} $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -5 $, $ |\vec{a}| = \sqrt{5} $, $ |\vec{b}| = \sqrt{10} $, $ \cos \alpha = \frac{-\sqrt{2}}{2} $.

4)

Дано:

$ \vec{a} = (1; -2) $

$ \vec{b} = (4; 3) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (-2)(3) = 4 - 6 = -2 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-2}{\sqrt{5} \cdot 5} = \frac{-2}{5\sqrt{5}} = \frac{-2\sqrt{5}}{25} $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -2 $, $ |\vec{a}| = \sqrt{5} $, $ |\vec{b}| = 5 $, $ \cos \alpha = \frac{-2\sqrt{5}}{25} $.

5)

Дано:

$ \vec{a} = (1.5; 2) $

$ \vec{b} = (2; -1) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1.5)(2) + (2)(-1) = 3 - 2 = 1 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{(1.5)^2 + 2^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5 $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{2.5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\frac{5}{2}\sqrt{5}} = \frac{2}{5\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{25} $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 $, $ |\vec{a}| = 2.5 $, $ |\vec{b}| = \sqrt{5} $, $ \cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{25} $.

6)

Дано:

$ \vec{a} = (3; -4) $

$ \vec{b} = (-6; 8) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-6) + (-4)(8) = -18 - 32 = -50 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-50}{5 \cdot 10} = \frac{-50}{50} = -1 $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -50 $, $ |\vec{a}| = 5 $, $ |\vec{b}| = 10 $, $ \cos \alpha = -1 $.