Номер 3, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Вычислите:

1)

$\vec{CB} \cdot \vec{CA} - ? \vec{BC} \cdot \vec{BA} - ?$

$\vec{AB} \cdot \vec{CA} - ? $

2)

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} - ? \vec{DB} \cdot \vec{DC} - ?$

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} - ? $

Дано Треугольник ABC, прямоугольный в C ($\angle C = 90^\circ$). Длина гипотенузы $AB = 6$. Угол $A = 30^\circ$.

Найти: $\vec{CB} \cdot \vec{CA}$ $\vec{BC} \cdot \vec{BA}$ $\vec{AB} \cdot \vec{CA}$

Решение Сначала найдем длины сторон BC и AC. В прямоугольном треугольнике ABC: $BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 6 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$. $AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 6 \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Угол $B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

1) $\vec{CB} \cdot \vec{CA}$ Векторы $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$ перпендикулярны, так как $\angle BCA = 90^\circ$. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. $\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(90^\circ) = BC \cdot AC \cdot 0 = 0$. Ответ: $0$

2) $\vec{BC} \cdot \vec{BA}$ Для нахождения скалярного произведения $\vec{BC} \cdot \vec{BA}$ используем формулу $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta)$, где $\theta$ - угол между векторами. Угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ - это угол $\angle B$ треугольника ABC. $\angle B = 60^\circ$. $|\vec{BC}| = BC = 3$. $|\vec{BA}| = AB = 6$. $\vec{BC} \cdot \vec{BA} = BC \cdot BA \cdot \cos(60^\circ) = 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 9$. Ответ: $9$

3) $\vec{AB} \cdot \vec{CA}$ Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{CA} = -\vec{AC}$. Тогда $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = \vec{AB} \cdot (-\vec{AC}) = -(\vec{AB} \cdot \vec{AC})$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ - это угол $\angle BAC = 30^\circ$. $|\vec{AB}| = AB = 6$. $|\vec{AC}| = AC = 3\sqrt{3}$. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \cdot 3 = 27$. Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = -27$. Ответ: $-27$

Дано Треугольник ABC. Отрезок BD является высотой к стороне AC ($\angle BDA = 90^\circ$). Длина стороны $AB = 4$. Углы при основании $\angle A$ и $\angle C$ равны (что означает, что $\triangle ABC$ равнобедренный с $AB=BC$). BD также является биссектрисой угла $\angle ABC$ (показано одинаковыми дугами). Точка D является серединой стороны AC (показано одинаковыми метками на AD и DC). Из того, что BD является высотой и медианой, следует, что $\triangle ABC$ является равнобедренным с $AB=BC$. Поскольку $AB=4$, то $BC=4$. Для того чтобы получить числовые значения, как предполагает слово "Вычислите", примем, что $\triangle ABC$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой, и все стороны равны. Таким образом, $AB=BC=AC=4$.

Найти: $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ $\vec{DB} \cdot \vec{DC}$ $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$

Решение Принимаем, что $\triangle ABC$ - равносторонний со стороной 4. Тогда $AB = BC = AC = 4$. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$. Поскольку D - середина AC, то $AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Высота $BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ - это угол $\angle A = 60^\circ$. $|\vec{AB}| = 4$. $|\vec{AC}| = 4$. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle A) = 4 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$. Ответ: $8$

2) $\vec{DB} \cdot \vec{DC}$ Векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ перпендикулярны, так как BD - высота, а D лежит на AC, следовательно, $\angle BDC = 90^\circ$. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. $\vec{DB} \cdot \vec{DC} = |\vec{DB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(90^\circ) = BD \cdot DC \cdot 0 = 0$. Ответ: $0$

3) $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$ Вектор $\vec{CD}$ направлен от C к D. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Вектор $\vec{CD}$ лежит на прямой AC и направлен противоположно вектору $\vec{AC}$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен $60^\circ$. Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ (который направлен от C к D, то есть противоположно $\vec{AC}$) будет $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. $|\vec{AB}| = 4$. $|\vec{CD}| = DC = 2$. $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(120^\circ) = 4 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$. Ответ: $-4$