Номер 5, страница 216 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Заполните таблицу:

$A(-3; 1), B(0; 2), C(2; -3), D(-1; 0)$

$\vec{AB}$

$\vec{DC}$

$\vec{AB} + \vec{CD}$

$-2\vec{AB}$

$\vec{BC} - \vec{AD}$

$\vec{BD}$

$\vec{AC}$

$\vec{BD} - \vec{AC}$

$\frac{1}{2}\vec{AC}$

$\vec{BC} + \vec{AD}$

Дано

точки с координатами: $A(-3; 1)$, $B(0; 2)$, $C(2; -3)$, $D(-1; 0)$.

Перевод в СИ не требуется, так как это задача на векторную алгебру в декартовой системе координат.

Найти

Координаты векторов и их комбинаций для заполнения таблицы.

Решение

Для каждой ячейки таблицы рассчитаем требуемые векторные величины. Общая формула для координат вектора $\vec{XY}$ с началом в точке $X(x_1, y_1)$ и концом в точке $Y(x_2, y_2)$ выглядит как $\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

$\vec{AB}$

Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся как разность координат конца $B$ и начала $A$.

$A(-3; 1)$, $B(0; 2)$

$\vec{AB} = (0 - (-3); 2 - 1) = (3; 1)$

Ответ: $(3; 1)$

$\vec{DC}$

Координаты вектора $\vec{DC}$ находятся как разность координат конца $C$ и начала $D$.

$D(-1; 0)$, $C(2; -3)$

$\vec{DC} = (2 - (-1); -3 - 0) = (3; -3)$

Ответ: $(3; -3)$

$\vec{AB} + \vec{CD}$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{CD}$:

$C(2; -3)$, $D(-1; 0)$

$\vec{CD} = (D_x - C_x; D_y - C_y) = (-1 - 2; 0 - (-3)) = (-3; 3)$

Теперь сложим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AB} = (3; 1)$ (рассчитано ранее)

$\vec{AB} + \vec{CD} = (3 + (-3); 1 + 3) = (0; 4)$

Ответ: $(0; 4)$

$-2\vec{AB}$

Умножим каждую координату вектора $\vec{AB}$ на скаляр $-2$:

$\vec{AB} = (3; 1)$ (рассчитано ранее)

$-2\vec{AB} = (-2 \cdot 3; -2 \cdot 1) = (-6; -2)$

Ответ: $(-6; -2)$

$\vec{BC} - \vec{AD}$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{BC}$:

$B(0; 2)$, $C(2; -3)$

$\vec{BC} = (C_x - B_x; C_y - B_y) = (2 - 0; -3 - 2) = (2; -5)$

Затем найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$A(-3; 1)$, $D(-1; 0)$

$\vec{AD} = (D_x - A_x; D_y - A_y) = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)$

Теперь вычтем вектор $\vec{AD}$ из вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} - \vec{AD} = (2 - 2; -5 - (-1)) = (0; -5 + 1) = (0; -4)$

Ответ: $(0; -4)$

$\vec{BD}$

Координаты вектора $\vec{BD}$ находятся как разность координат конца $D$ и начала $B$.

$B(0; 2)$, $D(-1; 0)$

$\vec{BD} = (D_x - B_x; D_y - B_y) = (-1 - 0; 0 - 2) = (-1; -2)$

Ответ: $(-1; -2)$

$\vec{AC}$

Координаты вектора $\vec{AC}$ находятся как разность координат конца $C$ и начала $A$.

$A(-3; 1)$, $C(2; -3)$

$\vec{AC} = (C_x - A_x; C_y - A_y) = (2 - (-3); -3 - 1) = (5; -4)$

Ответ: $(5; -4)$

$\vec{BD} - \vec{AC}$

Вычтем вектор $\vec{AC}$ из вектора $\vec{BD}$:

$\vec{BD} = (-1; -2)$ (рассчитано ранее)

$\vec{AC} = (5; -4)$ (рассчитано ранее)

$\vec{BD} - \vec{AC} = (-1 - 5; -2 - (-4)) = (-6; -2 + 4) = (-6; 2)$

Ответ: $(-6; 2)$

$\frac{1}{2}\vec{AC}$

Умножим каждую координату вектора $\vec{AC}$ на скаляр $\frac{1}{2}$:

$\vec{AC} = (5; -4)$ (рассчитано ранее)

$\frac{1}{2}\vec{AC} = (\frac{1}{2} \cdot 5; \frac{1}{2} \cdot (-4)) = (2.5; -2)$

Ответ: $(2.5; -2)$

$\vec{BC} + \vec{AD}$

Сложим векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{BC} = (2; -5)$ (рассчитано ранее)

$\vec{AD} = (2; -1)$ (рассчитано ранее)

$\vec{BC} + \vec{AD} = (2 + 2; -5 + (-1)) = (4; -6)$

Ответ: $(4; -6)$