Номер 1, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Заполните таблицу:

1)

$|\vec{a}|$: 2

$|\vec{b}|$: 3

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$: $30^{\circ}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

2)

$|\vec{a}|$: $\sqrt{2}$

$|\vec{b}|$:

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$: $45^{\circ}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: 5

3)

$|\vec{a}|$: $\sqrt{3}$

$|\vec{b}|$: 4

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: -6

4)

$|\vec{a}|$: 3

$|\vec{b}|$: 5

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$: $120^{\circ}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

5)

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$: 4

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$: $60^{\circ}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: 5

6)

$|\vec{a}|$: 1

$|\vec{b}|$: $\sqrt{3}$

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: 1,5

1) Дано:

$|\vec{a}| = 2$

$|\vec{b}| = 3$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$

Найти:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим известные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(30^\circ)$

Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{3}$

2) Дано:

$|\vec{a}| = \sqrt{2}$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

Найти:

$|\vec{b}|$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим известные значения:

$5 = \sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(45^\circ)$

Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$5 = \sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$5 = 2 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{2}$

$5 = |\vec{b}|$.

Ответ: $5$

3) Дано:

$|\vec{a}| = \sqrt{3}$

$|\vec{b}| = 4$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$

Найти:

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Выразим косинус угла:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Подставим известные значения:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{-6}{\sqrt{3} \cdot 4}$

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{-3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

Так как $\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, угол $\angle(\vec{a}, \vec{b})$ равен $150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$

4) Дано:

$|\vec{a}| = 3$

$|\vec{b}| = 5$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ$

Найти:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим известные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 15 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -7.5$.

Ответ: $-7.5$

5) Дано:

$|\vec{b}| = 4$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

Найти:

$|\vec{a}|$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Выразим $|\vec{a}|$:

$|\vec{a}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))}$

Подставим известные значения:

$|\vec{a}| = \frac{5}{4 \cdot \cos(60^\circ)}$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$|\vec{a}| = \frac{5}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Ответ: $2.5$

6) Дано:

$|\vec{a}| = 1$

$|\vec{b}| = \sqrt{3}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1.5$

Найти:

$\angle(\vec{a}, \vec{b})$

Решение:

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Выразим косинус угла:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Подставим известные значения:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{1.5}{1 \cdot \sqrt{3}}$

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{1.5}{\sqrt{3}} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как $\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, угол $\angle(\vec{a}, \vec{b})$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$