Номер 4, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Найдите длину вектора $\vec{x}$:

1)

$|\vec{x}| = |\vec{BB_1} - \vec{BA} - \vec{B_1C}| - ? $

2)

$|\vec{x}| = |\vec{BC_1} - \vec{AC} + \vec{AB}| - ? $

1)

Дано:

Треугольник ABC.

Высота $BB_1 \perp AC$.

$AB = 10$.

$BB_1 = 8$.

Углы $\angle A = \angle C$ (что означает, что треугольник ABC равнобедренный, то есть $AB = BC$).

Найти:

$|\vec{x}| = |\vec{BB_1} - \vec{BA} - \vec{B_1C}|$

Решение:

Упростим выражение для вектора $\vec{x}$:

$\vec{x} = \vec{BB_1} - \vec{BA} - \vec{B_1C}$

Воспользуемся свойствами векторов: $\vec{XY} = -\vec{YX}$.

Тогда $-\vec{BA} = \vec{AB}$ и $-\vec{B_1C} = \vec{CB_1}$.

Подставим это в выражение для $\vec{x}$:

$\vec{x} = \vec{BB_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

Перегруппируем слагаемые, используя правило треугольника ($\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$):

$\vec{x} = (\vec{AB} + \vec{BB_1}) + \vec{CB_1}$

$\vec{x} = \vec{AB_1} + \vec{CB_1}$

Из условия $\angle A = \angle C$ следует, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Высота $BB_1$ в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $B_1$ является серединой отрезка AC.

Если $B_1$ — середина отрезка AC, то векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{CB_1}$ имеют равные длины и противоположные направления (так как $\vec{AB_1}$ направлен от A к $B_1$, а $\vec{CB_1}$ от C к $B_1$).

Таким образом, $\vec{CB_1} = -\vec{AB_1}$.

Подставим это в выражение для $\vec{x}$:

$\vec{x} = \vec{AB_1} + (-\vec{AB_1})$

$\vec{x} = \vec{0}$ (нулевой вектор)

Длина нулевого вектора равна нулю.

Значения $AB=10$ и $BB_1=8$ в данном случае не требуются для нахождения длины вектора $\vec{x}$.

Ответ: $0$

2)

Дано:

Треугольник ABC.

Высота $CC_1 \perp AB$.

$AC_1 = 3$.

$AC = 5$.

Найти:

$|\vec{x}| = |\vec{BC_1} - \vec{AC} + \vec{AB}|$

Решение:

Упростим выражение для вектора $\vec{x}$:

$\vec{x} = \vec{BC_1} - \vec{AC} + \vec{AB}$

Воспользуемся свойствами векторов: $\vec{XY} = -\vec{YX}$ и правилом треугольника $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.

Перепишем $\vec{AC}$ как $-\vec{CA}$:

$\vec{x} = \vec{BC_1} + (-\vec{AC}) + \vec{AB}$

$\vec{x} = \vec{BC_1} + \vec{CA} + \vec{AB}$

Переставим слагаемые для применения правила треугольника:

$\vec{x} = \vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BC_1}$

Применим правило треугольника к первым двум векторам: $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

$\vec{x} = \vec{CB} + \vec{BC_1}$

Теперь применим правило треугольника к этим двум векторам:

$\vec{x} = \vec{CC_1}$

Таким образом, длина вектора $\vec{x}$ равна длине отрезка $CC_1$ (высоты).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC_1$, так как $CC_1 \perp AB$. Прямой угол находится в вершине $C_1$.

В этом треугольнике $AC$ является гипотенузой, а $AC_1$ и $CC_1$ — катетами.

По теореме Пифагора:

$AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2$

Подставим известные значения:

$5^2 = 3^2 + CC_1^2$

$25 = 9 + CC_1^2$

$CC_1^2 = 25 - 9$

$CC_1^2 = 16$

$CC_1 = \sqrt{16}$

$CC_1 = 4$

Следовательно, длина вектора $\vec{x}$ равна $4$.

Ответ: $4$