Номер 1, страница 212 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Укажите равные и коллинеарные векторы, если ABCD:

1) Квадрат

Равные векторы

$ \vec{AB} = \vec{DC} $

$ \vec{BC} = \vec{AD} $

$ \vec{AO} = \vec{OC} $

$ \vec{BO} = \vec{OD} $

Коллинеарные векторы

$ \vec{AD}, \vec{DA}, \vec{BC}, \vec{CB} $

$ \vec{AB}, \vec{BA}, \vec{DC}, \vec{CD} $

$ \vec{AC}, \vec{CA}, \vec{AO}, \vec{OC} $

$ \vec{BD}, \vec{DB}, \vec{BO}, \vec{OD} $

2) Ромб

Равные векторы

$ \vec{AB} = \vec{DC} $

$ \vec{BC} = \vec{AD} $

$ \vec{AO} = \vec{OC} $

$ \vec{BO} = \vec{OD} $

Коллинеарные векторы

$ \vec{AD}, \vec{DA}, \vec{BC}, \vec{CB} $

$ \vec{AB}, \vec{BA}, \vec{DC}, \vec{CD} $

$ \vec{AC}, \vec{CA}, \vec{AO}, \vec{OC} $

$ \vec{BD}, \vec{DB}, \vec{BO}, \vec{OD} $

Решение

Для решения задачи определим понятия равных и коллинеарных векторов, а также свойства квадрата и ромба.

• Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

• Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Их направления могут быть одинаковыми или противоположными.

1) квадрат

В квадрате ABCD все стороны равны, противоположные стороны параллельны. Диагонали равны, делятся точкой пересечения O пополам и перпендикулярны.

Равные векторы:

• $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$: точка O является серединой диагонали AC, и оба вектора направлены в одном и том же направлении (от A к O и от O к C). Следовательно, они равны.

• $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$: точка O является серединой диагонали BD, и оба вектора направлены в одном и том же направлении (от B к O и от O к D). Следовательно, они равны.

Векторы сторон, представленные на изображении ($\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$), не образуют равных пар в том виде, как они изображены (например, $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны, но противоположно направлены).

Ответ: $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$; $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$.

Коллинеарные векторы:

• $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$: эти векторы лежат на параллельных прямых AB и CD (противоположные стороны квадрата).

• $\vec{AD}$ и $\vec{CB}$: эти векторы лежат на параллельных прямых AD и CB (противоположные стороны квадрата).

• $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$: эти векторы лежат на одной прямой AC.

• $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$: эти векторы лежат на одной прямой BD.

Ответ: $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$; $\vec{AD}$ и $\vec{CB}$; $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$; $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$.

2) ромб

В ромбе ABCD все стороны равны, противоположные стороны параллельны. Диагонали делятся точкой пересечения O пополам и перпендикулярны. В отличие от квадрата, диагонали ромба в общем случае не равны по длине.

Равные векторы:

• $\vec{AO}$ и $\vec{CO}$: точка O является серединой диагонали AC, но векторы $\vec{AO}$ (от A к O) и $\vec{CO}$ (от C к O) направлены в противоположные стороны. Следовательно, они не равны ($\vec{AO} = -\vec{CO}$).

• $\vec{BO}$ и $\vec{DO}$: точка O является серединой диагонали BD, но векторы $\vec{BO}$ (от B к O) и $\vec{DO}$ (от D к O) направлены в противоположные стороны. Следовательно, они не равны ($\vec{BO} = -\vec{DO}$).

• $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: в общем случае ромба диагонали не равны по длине, поэтому эти векторы не равны.

Среди векторов, представленных на изображении для ромба (2), равных пар нет.

Ответ: Нет равных векторов среди указанных.

Коллинеарные векторы:

• $\vec{AO}$ и $\vec{CO}$: эти векторы лежат на одной прямой AC.

• $\vec{AO}$ и $\vec{AC}$: эти векторы лежат на одной прямой AC.

• $\vec{CO}$ и $\vec{AC}$: эти векторы лежат на одной прямой AC.

• $\vec{BO}$ и $\vec{DO}$: эти векторы лежат на одной прямой BD.

• $\vec{BO}$ и $\vec{BD}$: эти векторы лежат на одной прямой BD.

• $\vec{DO}$ и $\vec{BD}$: эти векторы лежат на одной прямой BD.

Ответ: $\vec{AO}$ и $\vec{CO}$; $\vec{AO}$ и $\vec{AC}$; $\vec{CO}$ и $\vec{AC}$; $\vec{BO}$ и $\vec{DO}$; $\vec{BO}$ и $\vec{BD}$; $\vec{DO}$ и $\vec{BD}$.