Номер 50, страница 190 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Найдите длины его катетов, если известно, что длина большего катета равна среднему арифметическому длин меньшего катета и гипотенузы.

(9,6 см, 7,2 см)

Дано:

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника: $c = 12$ см

Длина большего катета ($b$) равна среднему арифметическому длин меньшего катета ($a$) и гипотенузы ($c$): $b = \frac{a + c}{2}$

Перевод в СИ:

$c = 12$ см $= 0.12$ м

Длины катетов $a$ и $b$ будут получены в метрах при пересчете.

Найти:

Длины катетов $a$ и $b$.

Решение:

Обозначим длины катетов как $a$ (меньший катет) и $b$ (больший катет). Длина гипотенузы $c = 12$ см.

Согласно условию задачи, длина большего катета $b$ равна среднему арифметическому длин меньшего катета $a$ и гипотенузы $c$:

$b = \frac{a + c}{2}$

Подставим известное значение гипотенузы $c = 12$ см:

$b = \frac{a + 12}{2} \quad (1)$

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим значение $c = 12$ см:

$a^2 + b^2 = 12^2$

$a^2 + b^2 = 144 \quad (2)$

Теперь подставим выражение для $b$ из уравнения $(1)$ в уравнение $(2)$:

$a^2 + \left(\frac{a + 12}{2}\right)^2 = 144$

$a^2 + \frac{(a + 12)^2}{4} = 144$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4a^2 + (a + 12)^2 = 144 \times 4$

Раскроем скобки $(a + 12)^2 = a^2 + 2 \times a \times 12 + 12^2 = a^2 + 24a + 144$:

$4a^2 + a^2 + 24a + 144 = 576$

Приведем подобные члены и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$5a^2 + 24a + 144 - 576 = 0$

$5a^2 + 24a - 432 = 0$

Это квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где $A = 5$, $B = 24$, $C = -432$. Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = 24^2 - 4 \times 5 \times (-432)$

$D = 576 - 20 \times (-432)$

$D = 576 + 8640$

$D = 9216$

Найдем квадратный корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{9216} = 96$

Теперь найдем значения $a$ по формуле $a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$a_1 = \frac{-24 + 96}{2 \times 5} = \frac{72}{10} = 7.2$

$a_2 = \frac{-24 - 96}{2 \times 5} = \frac{-120}{10} = -12$

Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому принимаем $a = 7.2$ см.

Теперь найдем длину большего катета $b$, используя уравнение $(1)$:

$b = \frac{a + 12}{2} = \frac{7.2 + 12}{2} = \frac{19.2}{2} = 9.6$

Таким образом, длины катетов равны 7.2 см и 9.6 см. Проверим, что $a$ является меньшим катетом, а $b$ большим: $7.2 < 9.6$, что соответствует условию задачи.

Ответ:

Длины катетов составляют 9.6 см и 7.2 см.