Страница 190 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Найдите длины его катетов, если известно, что длина большего катета равна среднему арифметическому длин меньшего катета и гипотенузы.

(9,6 см, 7,2 см)

Дано:

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника: $c = 12$ см

Длина большего катета ($b$) равна среднему арифметическому длин меньшего катета ($a$) и гипотенузы ($c$): $b = \frac{a + c}{2}$

Перевод в СИ:

$c = 12$ см $= 0.12$ м

Длины катетов $a$ и $b$ будут получены в метрах при пересчете.

Найти:

Длины катетов $a$ и $b$.

Решение:

Обозначим длины катетов как $a$ (меньший катет) и $b$ (больший катет). Длина гипотенузы $c = 12$ см.

Согласно условию задачи, длина большего катета $b$ равна среднему арифметическому длин меньшего катета $a$ и гипотенузы $c$:

$b = \frac{a + c}{2}$

Подставим известное значение гипотенузы $c = 12$ см:

$b = \frac{a + 12}{2} \quad (1)$

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим значение $c = 12$ см:

$a^2 + b^2 = 12^2$

$a^2 + b^2 = 144 \quad (2)$

Теперь подставим выражение для $b$ из уравнения $(1)$ в уравнение $(2)$:

$a^2 + \left(\frac{a + 12}{2}\right)^2 = 144$

$a^2 + \frac{(a + 12)^2}{4} = 144$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4a^2 + (a + 12)^2 = 144 \times 4$

Раскроем скобки $(a + 12)^2 = a^2 + 2 \times a \times 12 + 12^2 = a^2 + 24a + 144$:

$4a^2 + a^2 + 24a + 144 = 576$

Приведем подобные члены и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$5a^2 + 24a + 144 - 576 = 0$

$5a^2 + 24a - 432 = 0$

Это квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где $A = 5$, $B = 24$, $C = -432$. Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = 24^2 - 4 \times 5 \times (-432)$

$D = 576 - 20 \times (-432)$

$D = 576 + 8640$

$D = 9216$

Найдем квадратный корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{9216} = 96$

Теперь найдем значения $a$ по формуле $a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$a_1 = \frac{-24 + 96}{2 \times 5} = \frac{72}{10} = 7.2$

$a_2 = \frac{-24 - 96}{2 \times 5} = \frac{-120}{10} = -12$

Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому принимаем $a = 7.2$ см.

Теперь найдем длину большего катета $b$, используя уравнение $(1)$:

$b = \frac{a + 12}{2} = \frac{7.2 + 12}{2} = \frac{19.2}{2} = 9.6$

Таким образом, длины катетов равны 7.2 см и 9.6 см. Проверим, что $a$ является меньшим катетом, а $b$ большим: $7.2 < 9.6$, что соответствует условию задачи.

Ответ:

Длины катетов составляют 9.6 см и 7.2 см.

51. a) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, вписанного в окружность, радиус которой 9 см.

б) На расстоянии 8 м от центра $O$ окружности радиуса 6 м взята точка $M$. Найдите наибольшую площадь треугольника $OMX$, где $X$ – произвольная точка окружности.

(a) 162 $см^2$; б) 24 $м^2$)

a)

Дано:

Радиус окружности $R = 9$ см

Перевод в СИ:

$R = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Наибольшую площадь четырехугольника $S_{max}$

Решение:

Среди всех четырехугольников, вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат. Диагональ такого квадрата равна диаметру окружности.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда его диагональ $d$ связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$.

Диаметр окружности $D$ равен двум радиусам, то есть $D = 2R$.

Поскольку диагональ квадрата является диаметром окружности, имеем $a\sqrt{2} = 2R$.

Выразим сторону квадрата $a$ через радиус $R$: $a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.

Площадь квадрата $S$ вычисляется как $S = a^2$. Подставим выражение для $a$:

$S_{max} = (R\sqrt{2})^2 = R^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2R^2$.

Подставим заданное значение радиуса $R = 9$ см:

$S_{max} = 2 \cdot (9 \text{ см})^2 = 2 \cdot 81 \text{ см}^2 = 162 \text{ см}^2$.

Ответ: 162 см$^2$

б)

Дано:

Расстояние от центра $O$ окружности до точки $M$: $OM = 8$ м

Радиус окружности: $R = 6$ м

Точка $X$ – произвольная точка окружности.

Перевод в СИ:

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Наибольшую площадь треугольника $OMX$, $S_{OMX,max}$

Решение:

Площадь треугольника $OMX$ определяется по формуле $S_{OMX} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

В качестве основания треугольника $OMX$ возьмем отрезок $OM$. Его длина фиксирована и равна $OM = 8$ м.

Тогда площадь треугольника $S_{OMX} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot h_X$, где $h_X$ – высота треугольника, опущенная из вершины $X$ на прямую, содержащую основание $OM$.

Для того чтобы площадь треугольника была наибольшей, необходимо максимизировать высоту $h_X$.

Высота $h_X$ – это перпендикулярное расстояние от точки $X$ (лежащей на окружности) до прямой $OM$.

Максимальное расстояние от точки на окружности до прямой, проходящей через центр этой окружности $O$ (прямая $OM$), достигается, когда радиус $OX$ перпендикулярен прямой $OM$.

В этом случае высота $h_X$ будет равна радиусу окружности $R$.

Таким образом, максимальная высота $h_{X,max} = R = 6$ м.

Подставим значения $OM$ и $R$ в формулу площади:

$S_{OMX,max} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot R$

$S_{OMX,max} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ м} \cdot 6 \text{ м}$

$S_{OMX,max} = \frac{1}{2} \cdot 48 \text{ м}^2$

$S_{OMX,max} = 24 \text{ м}^2$

Ответ: 24 м$^2$

52. В треугольнике $ABC$ $AC = 2$ дм, $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$. Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне $AC$.

$((\sqrt{3} - 1)$ дм)

Дано:

треугольник $ABC$;

$AC = 2$ дм;

$\angle A = 30^\circ$;

$\angle C = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

$AC = 2$ дм $ = 0.2$ м.

Найти:

высоту $BH$, проведенную к стороне $AC$.

Решение:

Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. Точка $H$ лежит на отрезке $AC$, так как углы $A$ и $C$ острые (меньше $90^\circ$).

Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому треугольники $ABH$ и $CBH$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$:

$\angle A = 30^\circ$.

Тангенс угла $A$ определяется как отношение противолежащего катета $BH$ к прилежащему катету $AH$:

$\tan A = \frac{BH}{AH}$

Отсюда, $AH = \frac{BH}{\tan A} = \frac{BH}{\tan 30^\circ}$.

Известно, что $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, $AH = \frac{BH}{1/\sqrt{3}} = BH\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$:

$\angle C = 45^\circ$.

Тангенс угла $C$ определяется как отношение противолежащего катета $BH$ к прилежащему катету $HC$:

$\tan C = \frac{BH}{HC}$

Отсюда, $HC = \frac{BH}{\tan C} = \frac{BH}{\tan 45^\circ}$.

Известно, что $\tan 45^\circ = 1$.

Следовательно, $HC = \frac{BH}{1} = BH$.

Длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $HC$:

$AC = AH + HC$

Подставим найденные выражения для $AH$ и $HC$:

$AC = BH\sqrt{3} + BH$

$AC = BH(\sqrt{3} + 1)$

Выразим высоту $BH$:

$BH = \frac{AC}{\sqrt{3} + 1}$

Подставим значение $AC = 2$ дм:

$BH = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:

$BH = \frac{2}{(\sqrt{3} + 1)} \cdot \frac{(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} - 1)}$

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$BH = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - (1)^2}$

$BH = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}$

$BH = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2}$

$BH = \sqrt{3} - 1$

Единица измерения — дециметры (дм).

Ответ:

Высота треугольника, проведенная к стороне $AC$, равна $(\sqrt{3} - 1)$ дм.

53. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 40 см. Найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра описанной около него окружности. $(2,5\sqrt{41} \text{ см})$

Дано

Прямоугольный треугольник со следующими длинами катетов:

$a = 9 \, \text{см}$
$b = 40 \, \text{см}$

Найти

Расстояние $d$ от центра вписанной окружности до центра описанной окружности.

Решение

1. Найдем длину гипотенузы $c$ прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$ $c^2 = 9^2 + 40^2$ $c^2 = 81 + 1600$ $c^2 = 1681$ $c = \sqrt{1681}$ $c = 41 \, \text{см}$

2. Найдем радиус $r$ вписанной окружности для прямоугольного треугольника. Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник: $r = \frac{a + b - c}{2}$ $r = \frac{9 + 40 - 41}{2}$ $r = \frac{49 - 41}{2}$ $r = \frac{8}{2}$ $r = 4 \, \text{см}$

3. Найдем радиус $R$ описанной окружности для прямоугольного треугольника. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$ $R = \frac{41}{2}$ $R = 20.5 \, \text{см}$

4. Определим координаты центров окружностей. Пусть вершины прямоугольного треугольника находятся в точках $A(0, a)$, $B(b, 0)$ и $C(0, 0)$ (с прямым углом в точке $C$). В нашем случае, $A(0, 9)$, $B(40, 0)$, $C(0, 0)$ (или $A(0, 40)$, $B(9, 0)$, $C(0, 0)$ - это не повлияет на результат, так как оси симметричны). Центр вписанной окружности $O_i$ имеет координаты $(r, r)$, так как он равноудален от катетов и находится внутри угла: $O_i = (4, 4)$ Центр описанной окружности $O_o$ является серединой гипотенузы. Если вершины гипотенузы $A(0, a)$ и $B(b, 0)$, то координаты $O_o$ будут: $O_o = \left( \frac{0 + b}{2}, \frac{a + 0}{2} \right)$ $O_o = \left( \frac{40}{2}, \frac{9}{2} \right)$ $O_o = (20, 4.5)$

5. Найдем расстояние $d$ между центрами $O_i(x_1, y_1)$ и $O_o(x_2, y_2)$ по формуле расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $d = \sqrt{(20 - 4)^2 + (4.5 - 4)^2}$ $d = \sqrt{(16)^2 + (0.5)^2}$ $d = \sqrt{256 + 0.25}$ $d = \sqrt{256.25}$

Представим $256.25$ в виде дроби: $256.25 = \frac{25625}{100} = \frac{1025}{4}$. $d = \sqrt{\frac{1025}{4}}$ $d = \frac{\sqrt{1025}}{\sqrt{4}}$ $d = \frac{\sqrt{25 \cdot 41}}{2}$ $d = \frac{5\sqrt{41}}{2}$ $d = 2.5\sqrt{41} \, \text{см}$

Ответ

Расстояние от центра вписанной окружности до центра описанной окружности составляет $2.5\sqrt{41} \, \text{см}$.