Страница 186 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Можно ли построить четырехугольник, если около него можно описать окружность, а величины его углов относятся как:

а) $1:2:3:4$;

б) $5:5:9:10?$

(а) Можно; б) нельзя)

а)

Дано

Отношение углов четырехугольника: $1:2:3:4$.

Найти

Можно ли построить четырехугольник, около которого можно описать окружность.

Решение

Пусть углы четырехугольника равны $x, 2x, 3x, 4x$.

Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

$x + 2x + 3x + 4x = 360^\circ$

$10x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$

Тогда величины углов четырехугольника:

$\alpha = 1 \cdot 36^\circ = 36^\circ$

$\beta = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

$\gamma = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

$\delta = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Четырехугольник является вписанным (около него можно описать окружность) тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Проверим это условие для полученных углов:

Если мы расположим углы так, чтобы $36^\circ$ был напротив $144^\circ$, а $72^\circ$ напротив $108^\circ$:

Сумма первой пары противоположных углов: $36^\circ + 144^\circ = 180^\circ$.

Сумма второй пары противоположных углов: $72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$.

Оба условия выполняются, следовательно, такой четырехугольник можно построить.

Ответ: Можно

б)

Дано

Отношение углов четырехугольника: $5:5:9:10$.

Найти

Можно ли построить четырехугольник, около которого можно описать окружность.

Решение

Пусть углы четырехугольника равны $5x, 5x, 9x, 10x$.

Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

$5x + 5x + 9x + 10x = 360^\circ$

$29x = 360^\circ$

$x = \frac{360}{29}^\circ$

Четырехугольник является вписанным, если сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Выразим $180^\circ$ через $x$:

$180^\circ = 180 \cdot \frac{29x}{360} = \frac{29}{2}x = 14.5x$

Следовательно, сумма любых двух противоположных углов должна быть равна $14.5x$.

Рассмотрим все возможные суммы пар углов из заданного набора $\{5x, 5x, 9x, 10x\}$:

1. Сумма двух углов, которые равны $5x$: $5x + 5x = 10x$.

Это не равно $14.5x$, так как $10x \neq 14.5x$ (поскольку $x \neq 0$). Значит, два равных угла не могут быть противоположными.

2. Сумма углов $5x$ и $9x$: $5x + 9x = 14x$.

Это не равно $14.5x$, так как $14x \neq 14.5x$. Значит, эти углы не могут быть противоположными.

3. Сумма углов $5x$ и $10x$: $5x + 10x = 15x$.

Это не равно $14.5x$, так как $15x \neq 14.5x$. Значит, эти углы не могут быть противоположными.

Поскольку ни одна возможная пара углов из заданного набора не дает в сумме $180^\circ$ ($14.5x$), невозможно найти две пары противоположных углов, удовлетворяющих условию вписанного четырехугольника.

Ответ: Нельзя

29. Мансардное покрытие дома образует в вертикальном сечении «половину» правильного восьмиугольника (рисунок 2). Найдите высоту $BH$ мансардной комнаты $ABCD$, если $AD = 6$ м.

Рисунок 2

($\approx 2,1$ м).

Дано:

Длина основания мансардной комнаты $AD = 6$ м.

Вертикальное сечение мансардного покрытия образует «половину» правильного восьмиугольника.

Перевод в СИ:

$AD = 6$ м (уже в системе СИ).

Найти:

$BH$ - высота мансардной комнаты.

Решение:

Так как вертикальное сечение мансардного покрытия образует «половину» правильного восьмиугольника, это означает, что основание $AD$ является одной из самых длинных диагоналей этого восьмиугольника, проходящей через его центр. Таким образом, $AD$ является диаметром окружности, описанной около правильного восьмиугольника.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Тогда длина основания $AD$ равна $2R$.

$AD = 2R$

$6 \text{ м} = 2R$

$R = \frac{6}{2} = 3 \text{ м}$.

Разместим центр правильного восьмиугольника в начале координат $(0,0)$. Тогда точки $A$ и $D$ лежат на оси $x$.

Координаты вершин правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, можно выразить как $(R \cos \phi_k, R \sin \phi_k)$, где $\phi_k$ — углы.

Если $D$ находится на положительной оси $x$, то его угол $\phi_D = 0^\circ$. Таким образом, $D=(R, 0)$.

Тогда $A$ находится на отрицательной оси $x$, его угол $\phi_A = 180^\circ$. Таким образом, $A=(-R, 0)$.

Правильный восьмиугольник имеет 8 вершин. Угол между радиусами, проведенными к соседним вершинам из центра, составляет $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.

Точка $B$ является соседней вершиной к $A$ в верхнем полуплоскости. Двигаясь от $A$ ($180^\circ$) против часовой стрелки, следующая вершина будет иметь угол $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ (или, если идти от $D$ ($0^\circ$) по часовой стрелке, то $0^\circ + 45^\circ = 45^\circ$ для точки $C$, и $45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$ для верхней точки, а $90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$ для точки $B$).

Координаты точки $B$ можно найти как:$B = (R \cos(135^\circ), R \sin(135^\circ))$

Мы знаем, что $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, координаты точки $B$ будут:

$B = \left(R \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), R \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Высота $BH$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на основание $AD$. Длина $BH$ равна $y$-координате точки $B$.

$BH = R \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значение $R=3$ м:

$BH = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ м}$

$BH \approx 3 \cdot \frac{1.41421356}{2} \approx 3 \cdot 0.70710678 \approx 2.12132034 \text{ м}$.

Ответ:

Высота $BH$ мансардной комнаты составляет примерно $2.1$ м. Точное значение: $BH = \$3 \frac{\sqrt{2}}{2}\$ м.

30. Правильным паркетом называется такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо либо общую вершину, либо не имеют общих точек, причем его можно наложить на самого себя так, что любая заданная его вершина совместится с любой другой заданной вершиной.

Приведите примеры двух правильных паркетов, в вершинах которых сходятся:
а) 5;
б) 4;
в) 3 многоугольника. Сколько всего существует правильных паркетов?

(Например, паркет, составленный из:
а) правильных треугольников и квадратов;
б) правильных треугольников и шестиугольников;
в) квадратов и правильных восьмиугольников. Приведите другие примеры)

Для правильного паркета сумма углов многоугольников, сходящихся в одной вершине, должна составлять $360^\circ$. Внутренний угол правильного $n$-угольника равен $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Определение "правильного паркета", данное в задаче ("его можно наложить на самого себя так, что любая заданная его вершина совместится с любой другой заданной вершиной"), соответствует определению вершинно-транзитивных (или однородных) замощений плоскости, которые включают 3 правильных (состоящих из многоугольников одного типа) и 8 полуправильных (архимедовых) замощений.

а) 5 многоугольника

Примеры паркетов, в вершинах которых сходятся 5 многоугольников:

• Паркет, состоящий из четырех правильных треугольников и одного правильного шестиугольника (конфигурация вершины $3.3.3.3.6$). Сумма углов: $4 \times 60^\circ + 120^\circ = 240^\circ + 120^\circ = 360^\circ$.
• Паркет, состоящий из трех правильных треугольников и двух правильных квадратов (конфигурация вершины $3.3.3.4.4$). Сумма углов: $3 \times 60^\circ + 2 \times 90^\circ = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$. (Существует также паркет с конфигурацией $3.3.4.3.4$, который также состоит из трех треугольников и двух квадратов и имеет 5 многоугольников в вершине).

Ответ: Паркет из четырех правильных треугольников и одного правильного шестиугольника ($3.3.3.3.6$); паркет из трех правильных треугольников и двух правильных квадратов ($3.3.3.4.4$).

б) 4 многоугольника

Примеры паркетов, в вершинах которых сходятся 4 многоугольника:

• Паркет, состоящий из двух правильных треугольников и двух правильных шестиугольников (конфигурация вершины $3.6.3.6$). Сумма углов: $2 \times 60^\circ + 2 \times 120^\circ = 120^\circ + 240^\circ = 360^\circ$.
• Паркет, состоящий из одного правильного треугольника, двух правильных квадратов и одного правильного шестиугольника (конфигурация вершины $3.4.6.4$). Сумма углов: $60^\circ + 2 \times 90^\circ + 120^\circ = 60^\circ + 180^\circ + 120^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Паркет из двух правильных треугольников и двух правильных шестиугольников ($3.6.3.6$); паркет из одного правильного треугольника, двух правильных квадратов и одного правильного шестиугольника ($3.4.6.4$).

в) 3 многоугольника

Примеры паркетов, в вершинах которых сходятся 3 многоугольника:

• Паркет, состоящий из одного правильного квадрата и двух правильных восьмиугольников (конфигурация вершины $4.8.8$). Сумма углов: $90^\circ + 2 \times 135^\circ = 90^\circ + 270^\circ = 360^\circ$.
• Паркет, состоящий из одного правильного треугольника и двух правильных двенадцатиугольников (конфигурация вершины $3.12.12$). Сумма углов: $60^\circ + 2 \times 150^\circ = 60^\circ + 300^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Паркет из одного правильного квадрата и двух правильных восьмиугольников ($4.8.8$); паркет из одного правильного треугольника и двух правильных двенадцатиугольников ($3.12.12$).

Сколько всего существует правильных паркетов?

Всего существует 11 правильных (вершинно-транзитивных) паркетов, которые включают:

• 3 правильных замощения (состоящие из одного типа правильных многоугольников):
  • Из шести правильных треугольников (конфигурация вершины $3.3.3.3.3.3$)
  • Из четырех правильных квадратов (конфигурация вершины $4.4.4.4$)
  • Из трех правильных шестиугольников (конфигурация вершины $6.6.6$)
• 8 полуправильных (архимедовых) замощений (состоящие из двух или более типов правильных многоугольников):
  • Три треугольника и два квадрата ($3.3.3.4.4$)
  • Треугольник, квадрат, треугольник, квадрат, треугольник ($3.3.4.3.4$)
  • Четыре треугольника и один шестиугольник ($3.3.3.3.6$)
  • Треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат ($3.4.6.4$)
  • Треугольник, шестиугольник, треугольник, шестиугольник ($3.6.3.6$)
  • Квадрат, шестиугольник, двенадцатиугольник ($4.6.12$)
  • Квадрат, восьмиугольник, восьмиугольник ($4.8.8$)
  • Треугольник, двенадцатиугольник, двенадцатиугольник ($3.12.12$)

Ответ: Всего существует 11 правильных паркетов (вершинно-транзитивных замощений).

31. Найдите размер $d$ гаечного ключа (рисунок 3), если сторона правильного шестиугольника гайки равна:

а) 10 мм;

б) 15 мм.

Рисунок 3

(a) 17; б) 26)

Дано

Сторона правильного шестиугольника: $a$

Перевод в СИ:

Для пункта а): $a = 10 \text{ мм} = 0.01 \text{ м}$

Для пункта б): $a = 15 \text{ мм} = 0.015 \text{ м}$

Найти:

Размер гаечного ключа $d$ (расстояние между параллельными сторонами шестиугольника).

Решение

Размер гаечного ключа $d$ для правильного шестиугольника (это расстояние между его параллельными сторонами) связан со стороной $a$ шестиугольника следующей формулой:

$d = a \sqrt{3}$

Используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.73205$.

а) 10 мм;

Подставляем значение стороны $a = 10 \text{ мм}$ в формулу для $d$:

$d = 10 \text{ мм} \cdot \sqrt{3}$

$d \approx 10 \text{ мм} \cdot 1.73205$

$d \approx 17.3205 \text{ мм}$

Округляя до целого числа, получаем $17 \text{ мм}$.

Ответ: $17 \text{ мм}$

б) 15 мм.

Подставляем значение стороны $a = 15 \text{ мм}$ в формулу для $d$:

$d = 15 \text{ мм} \cdot \sqrt{3}$

$d \approx 15 \text{ мм} \cdot 1.73205$

$d \approx 25.98075 \text{ мм}$

Округляя до целого числа, получаем $26 \text{ мм}$.

Ответ: $26 \text{ мм}$