Номер 29, страница 186 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Мансардное покрытие дома образует в вертикальном сечении «половину» правильного восьмиугольника (рисунок 2). Найдите высоту $BH$ мансардной комнаты $ABCD$, если $AD = 6$ м.

Рисунок 2

($\approx 2,1$ м).

Дано:

Длина основания мансардной комнаты $AD = 6$ м.

Вертикальное сечение мансардного покрытия образует «половину» правильного восьмиугольника.

Перевод в СИ:

$AD = 6$ м (уже в системе СИ).

Найти:

$BH$ - высота мансардной комнаты.

Решение:

Так как вертикальное сечение мансардного покрытия образует «половину» правильного восьмиугольника, это означает, что основание $AD$ является одной из самых длинных диагоналей этого восьмиугольника, проходящей через его центр. Таким образом, $AD$ является диаметром окружности, описанной около правильного восьмиугольника.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Тогда длина основания $AD$ равна $2R$.

$AD = 2R$

$6 \text{ м} = 2R$

$R = \frac{6}{2} = 3 \text{ м}$.

Разместим центр правильного восьмиугольника в начале координат $(0,0)$. Тогда точки $A$ и $D$ лежат на оси $x$.

Координаты вершин правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, можно выразить как $(R \cos \phi_k, R \sin \phi_k)$, где $\phi_k$ — углы.

Если $D$ находится на положительной оси $x$, то его угол $\phi_D = 0^\circ$. Таким образом, $D=(R, 0)$.

Тогда $A$ находится на отрицательной оси $x$, его угол $\phi_A = 180^\circ$. Таким образом, $A=(-R, 0)$.

Правильный восьмиугольник имеет 8 вершин. Угол между радиусами, проведенными к соседним вершинам из центра, составляет $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.

Точка $B$ является соседней вершиной к $A$ в верхнем полуплоскости. Двигаясь от $A$ ($180^\circ$) против часовой стрелки, следующая вершина будет иметь угол $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ (или, если идти от $D$ ($0^\circ$) по часовой стрелке, то $0^\circ + 45^\circ = 45^\circ$ для точки $C$, и $45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$ для верхней точки, а $90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$ для точки $B$).

Координаты точки $B$ можно найти как:$B = (R \cos(135^\circ), R \sin(135^\circ))$

Мы знаем, что $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, координаты точки $B$ будут:

$B = \left(R \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), R \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Высота $BH$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на основание $AD$. Длина $BH$ равна $y$-координате точки $B$.

$BH = R \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значение $R=3$ м:

$BH = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ м}$

$BH \approx 3 \cdot \frac{1.41421356}{2} \approx 3 \cdot 0.70710678 \approx 2.12132034 \text{ м}$.

Ответ:

Высота $BH$ мансардной комнаты составляет примерно $2.1$ м. Точное значение: $BH = \$3 \frac{\sqrt{2}}{2}\$ м.