Номер 22, страница 185 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Постройте параллелограмм, симметричный данному параллелограмму:

а) относительно одной из его вершин;

б) относительно одной из его сторон.

Дано: Произвольный параллелограмм $ABCD$.

Найти: Построить параллелограмм $A'B'C'D'$, симметричный данному параллелограмму $ABCD$.

Решение:

а) относительно одной из его вершин

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Выберем вершину $A$ в качестве центра симметрии.

При центральной симметрии относительно точки $A$ каждая точка $X$ отображается в точку $X'$ таким образом, что точка $A$ является серединой отрезка $XX'$.

Последовательность построения:

1. Начертите данный параллелограмм $ABCD$.

2. Выберите одну из вершин, например, $A$, как центр симметрии. Образ вершины $A$ при этой симметрии совпадает с самой вершиной $A$, то есть $A' = A$.

3. Постройте точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно $A$. Для этого проведите прямую через точки $B$ и $A$. На этой прямой отложите от точки $A$ отрезок $AB'$, равный отрезку $AB$, в направлении, противоположном вектору $\vec{AB}$. То есть, $A$ должна быть серединой отрезка $BB'$.

4. Аналогично, постройте точку $D'$, симметричную точке $D$ относительно $A$. Проведите прямую через точки $D$ и $A$. На этой прямой отложите от точки $A$ отрезок $AD'$, равный отрезку $AD$, в направлении, противоположном вектору $\vec{AD}$. То есть, $A$ должна быть серединой отрезка $DD'$.

5. Постройте точку $C'$, симметричную точке $C$ относительно $A$. Проведите прямую через точки $C$ и $A$. На этой прямой отложите от точки $A$ отрезок $AC'$, равный отрезку $AC$, в направлении, противоположном вектору $\vec{AC}$. То есть, $A$ должна быть серединой отрезка $CC'$.

6. Соедините последовательно точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$. Полученный четырехугольник $A'B'C'D'$ (то есть $AB'C'D'$) является искомым параллелограммом. Он будет иметь стороны, направленные как $\vec{A'B'} = -\vec{AB}$ и $\vec{A'D'} = -\vec{AD}$.

Ответ: Параллелограмм $AB'C'D'$, полученный в результате центральной симметрии исходного параллелограмма $ABCD$ относительно его вершины $A$.

б) относительно одной из его сторон

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Выберем сторону $AB$ в качестве оси симметрии.

При осевой симметрии относительно прямой $L$ каждая точка $X$ отображается в точку $X'$ таким образом, что прямая $L$ является серединным перпендикуляром отрезка $XX'$. Точки, лежащие на оси симметрии, переходят сами в себя.

Последовательность построения:

1. Начертите данный параллелограмм $ABCD$.

2. Выберите одну из сторон, например, $AB$, как ось симметрии. Вершины $A$ и $B$ лежат на оси симметрии, поэтому их образы совпадают с ними самими: $A' = A$ и $B' = B$.

3. Постройте точку $D'$, симметричную точке $D$ относительно прямой $AB$. Для этого опустите перпендикуляр из точки $D$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Пусть основание перпендикуляра будет точка $P$. На продолжении этого перпендикуляра за точку $P$ отложите отрезок $PD'$, равный отрезку $DP$. Точка $D'$ — это симметричное изображение точки $D$.

4. Аналогично, постройте точку $C'$, симметричную точке $C$ относительно прямой $AB$. Для этого опустите перпендикуляр из точки $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Пусть основание перпендикуляра будет точка $Q$. На продолжении этого перпендикуляра за точку $Q$ отложите отрезок $QC'$, равный отрезку $CQ$. Точка $C'$ — это симметричное изображение точки $C$.

5. Соедините последовательно точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$. Полученный четырехугольник $A'B'C'D'$ (то есть $ABC'D'$) является искомым параллелограммом.

Ответ: Параллелограмм $ABC'D'$, полученный в результате осевой симметрии исходного параллелограмма $ABCD$ относительно его стороны $AB$.