Номер 21, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Длина стороны прямоугольника равна 9 см, а величина одного из углов, образованных диагоналями, равна 150°. Найдите площадь прямоугольника.

$(81(2 \pm \sqrt{3}) \text{ см}^2)$

Дано:

Длина одной из сторон прямоугольника $L_1 = 9$ см.

Величина одного из углов, образованных диагоналями, $\alpha = 150^\circ$.

Перевод в СИ:

Длина стороны $L_1 = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$.

Угол $\alpha = 150^\circ = \frac{150 \cdot \pi}{180} \text{ радиан} = \frac{5\pi}{6} \text{ радиан}$.

Найти:

Площадь прямоугольника $S$.

Решение:

Пусть прямоугольник будет $ABCD$, а его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, $AO = BO = CO = DO$.

Обозначим длину половины диагонали за $x$, то есть $AO = BO = CO = DO = x$.

По условию, один из углов, образованных диагоналями, равен $150^\circ$. Пусть $\angle AOB = 150^\circ$.

Тогда смежный с ним угол $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он равнобедренный, так как $AO=BO=x$. Сторона $AB$ является одной из сторон прямоугольника, обозначим ее $a$.

Применим теорему косинусов для треугольника $AOB$:

$a^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)$

$a^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos(150^\circ)$

$a^2 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$a^2 = 2x^2 + x^2\sqrt{3}$

$a^2 = x^2(2 + \sqrt{3})$

Рассмотрим треугольник $BOC$. Он равнобедренный, так как $BO=CO=x$. Сторона $BC$ является другой стороной прямоугольника, обозначим ее $b$.

Применим теорему косинусов для треугольника $BOC$:

$b^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\angle BOC)$

$b^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos(30^\circ)$

$b^2 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 2x^2 - x^2\sqrt{3}$

$b^2 = x^2(2 - \sqrt{3})$

По условию, длина одной из сторон прямоугольника равна $9$ см. Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: Заданная сторона $L_1$ соответствует стороне $a$ прямоугольника, т.е. $a = 9$ см.

Подставим $a=9$ в выражение для $a^2$:

$9^2 = x^2(2 + \sqrt{3})$

$81 = x^2(2 + \sqrt{3})$

Найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{81}{2 + \sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{3})$:

$x^2 = \frac{81(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{81(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 81(2 - \sqrt{3})$

Теперь найдем квадрат второй стороны $b^2$:

$b^2 = x^2(2 - \sqrt{3}) = 81(2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 81(2 - \sqrt{3})^2$

Извлечем корень, чтобы найти $b$:

$b = \sqrt{81(2 - \sqrt{3})^2} = 9(2 - \sqrt{3})$

Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$:

$S_1 = 9 \cdot 9(2 - \sqrt{3}) = 81(2 - \sqrt{3}) \text{ см}^2$

Случай 2: Заданная сторона $L_1$ соответствует стороне $b$ прямоугольника, т.е. $b = 9$ см.

Подставим $b=9$ в выражение для $b^2$:

$9^2 = x^2(2 - \sqrt{3})$

$81 = x^2(2 - \sqrt{3})$

Найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{81}{2 - \sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:

$x^2 = \frac{81(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{81(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 81(2 + \sqrt{3})$

Теперь найдем квадрат первой стороны $a^2$:

$a^2 = x^2(2 + \sqrt{3}) = 81(2 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 81(2 + \sqrt{3})^2$

Извлечем корень, чтобы найти $a$:

$a = \sqrt{81(2 + \sqrt{3})^2} = 9(2 + \sqrt{3})$

Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$:

$S_2 = 9(2 + \sqrt{3}) \cdot 9 = 81(2 + \sqrt{3}) \text{ см}^2$

Таким образом, существуют два возможных значения площади в зависимости от того, какая из сторон прямоугольника имеет длину $9$ см.

Ответ:

Площадь прямоугольника составляет $81(2 \pm \sqrt{3})$ см$^2$.