Номер 25, страница 185 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Дан треугольник $ABC$. На стороне $AC$ отмечена точка $K$ так, что $AK = 4$ см, $AC = 9$ см, $\angle ABK = \angle BCK$. Найдите $AB$ и отношение площадей треугольников $ABK$ и $ABC$.

($6$ см, $4 : 9$)

Дано:

Треугольник ABC.

Точка K лежит на стороне AC.

$AK = 4$ см

$AC = 9$ см

$\angle ABK = \angle BCK$

Перевод в СИ:

$AK = 4 \cdot 10^{-2}$ м

$AC = 9 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Длину стороны AB.

Отношение площадей треугольников ABK и ABC, т.е. $\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle ACB$.

1. Угол $A$ (или $\angle KAB$) является общим для обоих треугольников: $\angle KAB = \angle CAB$.

2. По условию задачи, $\angle ABK = \angle BCK$. Поскольку точка K лежит на стороне AC, угол $\angle BCK$ совпадает с углом $\angle BCA$ треугольника $\triangle ACB$. Таким образом, мы имеем $\angle ABK = \angle BCA$.

Исходя из двух совпавших углов, по признаку подобия треугольников по двум углам (AA), получаем, что $\triangle ABK \sim \triangle ACB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AK}{AB} = \frac{BK}{CB}$

Воспользуемся первой частью пропорции для нахождения стороны AB:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AK}{AB}$

$AB^2 = AK \cdot AC$

Подставим известные значения $AK = 4$ см и $AC = 9$ см:

$AB^2 = 4 \text{ см} \cdot 9 \text{ см}$

$AB^2 = 36 \text{ см}^2$

$AB = \sqrt{36 \text{ см}^2}$

$AB = 6 \text{ см}$

Теперь найдем отношение площадей треугольников $ABK$ и $ABC$.

Треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle ABC$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $B$ на прямую $AC$. Пусть эта высота равна $h_B$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Для $\triangle ABK$: $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h_B$

Для $\triangle ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

Найдем отношение площадей:

$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot h_B}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B}$

Сократим общие множители $\frac{1}{2}$ и $h_B$:

$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{AK}{AC}$

Подставим известные значения $AK = 4$ см и $AC = 9$ см:

$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{4 \text{ см}}{9 \text{ см}} = \frac{4}{9}$

Ответ:

Длина стороны AB = 6 см.

Отношение площадей треугольников ABK и ABC = 4 : 9.