Номер 18, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. $AB$ и $AC$ – касательные к окружности с центром в точке $O$ ($B$ и $C$ – точки касания). Найдите градусную меру меньшей из дуг $BC$, если расстояние от центра окружности до точки $A$ равно 8 см, а до хорды $BC$ – 6 см.

$(60^\circ)$

Дано:

Окружность с центром в точке $O$.
$AB$ и $AC$ – касательные к окружности ($B$ и $C$ – точки касания).
Расстояние от центра окружности до точки $A$: $OA = 8$ см.
Расстояние от центра окружности до хорды $BC$: $OK = 6$ см (где $K$ – точка пересечения $OA$ с $BC$).

Перевод в СИ:

Все данные представлены в сантиметрах, что является допустимой единицей для решения данной задачи. Перевод в метры не требуется, так как итоговый ответ — градусная мера угла.
$OA = 8$ см
$OK = 6$ см

Найти:

Градусную меру меньшей из дуг $BC$.

Решение:

1. По свойству касательных, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$, то есть $ \angle OBA = 90^\circ $. Аналогично, $ \angle OCA = 90^\circ $.

2. Отрезок, соединяющий центр окружности $O$ с точкой $A$, из которой проведены касательные, является биссектрисой угла между радиусами, проведенными в точки касания, то есть $OA$ биссектриса $ \angle BOC $. Также $OA$ перпендикулярен хорде $BC$ и делит ее пополам. Пусть $K$ – точка пересечения $OA$ с хордой $BC$. Тогда $OK$ – это расстояние от центра до хорды $BC$, и $ \angle OKB = 90^\circ $.

3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle OBA $ (прямой угол при вершине $B$) и $ \triangle OKB $ (прямой угол при вершине $K$).

4. Угол $ \angle AOB $ является общим для обоих треугольников (точнее, $ \angle AOB = \angle KOB $).

5. Так как оба треугольника прямоугольные и имеют общий острый угол, они подобны по двум углам ($ \triangle OKB \sim \triangle OBA $).

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $ \frac{OK}{OB} = \frac{OB}{OA} $

7. Пусть $R$ – радиус окружности, то есть $OB = R$. Подставим известные значения $OK = 6$ см и $OA = 8$ см: $ \frac{6}{R} = \frac{R}{8} $

8. Решим полученное уравнение относительно $R$: $ R^2 = 6 \cdot 8 $ $ R^2 = 48 $ $ R = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $ см.

9. Теперь, зная радиус $R$, найдем косинус угла $ \angle KOB $ в прямоугольном треугольнике $ \triangle OKB $: $ \cos(\angle KOB) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OK}{OB} $ $ \cos(\angle KOB) = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

10. Поскольку $ \cos(\angle KOB) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то $ \angle KOB = 30^\circ $.

11. Так как $OA$ является биссектрисой угла $BOC$, то $ \angle BOC = 2 \cdot \angle KOB $. $ \angle BOC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ $.

12. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом, мера меньшей дуги $BC$ равна $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$