Номер 13, страница 183 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Внутри равностороннего треугольника со стороной $a$ взята произвольная точка.

а) Докажите, что сумма расстояний от нее до сторон треугольника – постоянная.

б) Найдите сумму расстояний от этой точки до сторон треугольника.

(б) $0.5a\sqrt{3}$)

Дано:

Равносторонний треугольник со стороной $a$.

Внутри треугольника взята произвольная точка.

Найти:

a) Доказать, что сумма расстояний от точки до сторон треугольника – постоянная.

б) Найти сумму расстояний от этой точки до сторон треугольника.

Решение:

a) Докажите, что сумма расстояний от нее до сторон треугольника – постоянная.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Возьмем произвольную точку $P$ внутри треугольника. Опустим перпендикуляры из точки $P$ на стороны $BC$, $CA$, $AB$ и обозначим их длины как $h_1$, $h_2$, $h_3$ соответственно. Эти длины $h_1$, $h_2$, $h_3$ представляют собой расстояния от точки $P$ до сторон треугольника.

Площадь треугольника $ABC$, обозначим ее $S_{ABC}$, можно представить как сумму площадей трех меньших треугольников, образованных точкой $P$ и сторонами исходного треугольника: $PBC$, $PCA$ и $PAB$.

Площадь каждого из этих трех треугольников вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В данном случае, основанием для всех трех треугольников является сторона $a$ исходного равностороннего треугольника, а высотами — $h_1$, $h_2$, $h_3$ соответственно.

Таким образом, площади будут:

$S_{PBC} = \frac{1}{2} a h_1$

$S_{PCA} = \frac{1}{2} a h_2$

$S_{PAB} = \frac{1}{2} a h_3$

Суммируя эти площади, получаем общую площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = S_{PBC} + S_{PCA} + S_{PAB} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \frac{1}{2} a h_3$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} a$ за скобки:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$

С другой стороны, площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ также может быть выражена через его сторону по формуле:

$S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Приравниваем два выражения для площади $S_{ABC}$:

$\frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Для того чтобы найти сумму расстояний $(h_1 + h_2 + h_3)$, разделим обе части уравнения на $\frac{1}{2} a$ (поскольку $a \ne 0$):

$h_1 + h_2 + h_3 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{a}$

$h_1 + h_2 + h_3 = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Известно, что высота $H$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника: $h_1 + h_2 + h_3 = H$. Поскольку сторона $a$ данного треугольника является фиксированной величиной, то и высота $H$ является постоянной величиной. Следовательно, сумма расстояний также является постоянной.

Ответ: Доказано.

б) Найдите сумму расстояний от этой точки до сторон треугольника.

Согласно доказательству в пункте а), сумма расстояний от любой внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника.

Высота $H$ равностороннего треугольника со стороной $a$ определяется формулой:

$H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Эту формулу можно записать в десятичном виде как $H = 0.5 a \sqrt{3}$.

Следовательно, сумма расстояний от точки до сторон треугольника равна $0.5a\sqrt{3}$.

Ответ: $0.5a\sqrt{3}$