Номер 9, страница 183 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. В ромбе $ABCD$ высота равна $4\sqrt{3}$ дм, а $\angle ADC = 120^\circ$. На прямой $BC$ произвольно взята точка $F$. Найдите площадь треугольника $AFD$.

$(16\sqrt{3} \text{ дм}^2)$

Дано:

Ромб $ABCD$.

Высота ромба $h = 4\sqrt{3}$ дм.

Угол $\angle ADC = 120^\circ$.

Точка $F$ лежит на прямой $BC$.

Перевод в СИ:

$h = 4\sqrt{3}$ дм $= 0.4\sqrt{3}$ м.

Угол $\angle ADC = 120^\circ$ остается без изменений.

Найти:

Площадь треугольника $AFD$ ($S_{AFD}$).

Решение:

1. Определение свойств ромба и его параметров:

В ромбе $ABCD$ все стороны равны. Обозначим сторону ромба через $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = a$.

В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Если $\angle ADC = 120^\circ$, то смежный с ним угол $\angle DAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Высота ромба $h$ связана со стороной $a$ и одним из углов (острым углом) формулой $h = a \sin(\alpha)$, где $\alpha$ - острый угол ромба. В данном случае, острый угол $\alpha = \angle DAB = 60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу высоты:

$4\sqrt{3} = a \cdot \sin(60^\circ)$

$4\sqrt{3} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для того чтобы найти сторону $a$, умножим обе части уравнения на $\frac{2}{\sqrt{3}}$:

$a = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}}$

$a = 8$ дм.

Таким образом, длина стороны ромба $AD = 8$ дм.

2. Определение площади треугольника $AFD$:

Рассмотрим треугольник $AFD$. Его основанием можно выбрать сторону $AD$.

Поскольку $ABCD$ является ромбом, то он является частным случаем параллелограмма. Следовательно, его противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны друг другу ($AD \parallel BC$).

Точка $F$ по условию задачи лежит на прямой $BC$.

Высота треугольника, опущенная из вершины на противоположную сторону (или ее продолжение), представляет собой кратчайшее расстояние от вершины до этой стороны. В данном случае, высота треугольника $AFD$, опущенная из вершины $F$ на основание $AD$, равна расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $AD$. Это расстояние и есть высота ромба $h$.

Таким образом, высота треугольника $AFD$ относительно основания $AD$ равна $h_F = h = 4\sqrt{3}$ дм.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Для треугольника $AFD$:

Основание $AD = 8$ дм.

Высота $h_F = 4\sqrt{3}$ дм.

$S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_F$

$S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3}$

$S_{AFD} = 4 \cdot 4\sqrt{3}$

$S_{AFD} = 16\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ:

Площадь треугольника $AFD$ равна $16\sqrt{3}$ дм$^2$.