Номер 5, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведен серединный перпендикуляр к стороне $AB$, который пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите угол $PAC$, если угол $BCA$ равен $70^\circ$.

($30^\circ$)

Дано:

• треугольник $ABC$ — равнобедренный;

• основание $AC$;

• серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$;

• угол $\angle BCA = 70^\circ$.

Перевод в СИ:

• угол $\angle BCA = 70^\circ$. Единицей измерения углов в системе СИ является радиан. Однако, в геометрических задачах общепринято использовать градусы для удобства вычислений. Поэтому все расчеты будут проводиться в градусах, без перевода в радианы.

Найти:

• угол $\angle PAC$.

Решение:

Нахождение углов треугольника ABC

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, это означает, что стороны $AB$ и $BC$ равны, а углы при основании равны. Таким образом, $\angle BAC = \angle BCA$.

Дано, что $\angle BCA = 70^\circ$. Следовательно, $\angle BAC = 70^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем:
$\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$
$\angle ABC + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ$
$\angle ABC + 140^\circ = 180^\circ$
$\angle ABC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Ответ: $\angle ABC = 40^\circ$, $\angle BAC = 70^\circ$, $\angle BCA = 70^\circ$.

Использование свойства серединного перпендикуляра

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка. По условию задачи, серединный перпендикуляр к стороне $AB$ проходит через точку $P$. Следовательно, точка $P$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Таким образом, $PA = PB$.

Ответ: $PA = PB$.

Нахождение углов треугольника PAB

Поскольку $PA = PB$, треугольник $PAB$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle PAB = \angle PBA$.

Угол $\angle PBA$ является тем же самым углом, что и $\angle CBA$ в треугольнике $ABC$. Ранее мы нашли, что $\angle CBA = \angle ABC = 40^\circ$. Следовательно, $\angle PAB = 40^\circ$.

Ответ: $\angle PAB = 40^\circ$.

Вычисление угла PAC

Угол $\angle BAC$ состоит из двух углов: $\angle PAB$ и $\angle PAC$. То есть, мы можем записать: $\angle BAC = \angle PAB + \angle PAC$.

Мы знаем следующие значения:
$\angle BAC = 70^\circ$ (из пункта "Нахождение углов треугольника ABC")
$\angle PAB = 40^\circ$ (из пункта "Нахождение углов треугольника PAB")

Подставим известные значения в уравнение для нахождения $\angle PAC$:
$70^\circ = 40^\circ + \angle PAC$
$\angle PAC = 70^\circ - 40^\circ$
$\angle PAC = 30^\circ$.

Ответ: $\angle PAC = 30^\circ$.