Номер 451, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

451. На каждой стороне квадрата со стороной $b$, принятой за диаметр, построен полукруг, лежащий внутри квадрата. Найдите площадь полученной розетки (рисунок 210).

Рисунок 210

Рисунок 211

Дано:

Сторона квадрата: $b$

На каждой стороне квадрата построен полукруг, лежащий внутри квадрата, с этой стороной в качестве диаметра.

Найти:

Площадь полученной розетки.

Решение:

1. Обозначим сторону квадрата как $b$. Площадь всего квадрата $S_{квадрата} = b^2$.

2. Каждый полукруг построен на стороне квадрата, поэтому его диаметр равен $b$. Соответственно, радиус каждого полукруга $r = \frac{b}{2}$.

3. Площадь одного полукруга $S_{полукруг} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{b^2}{4} = \frac{\pi b^2}{8}$.

4. Розетка, изображенная на Рисунке 210, состоит из четырех одинаковых лепестков. Каждый такой лепесток образован пересечением двух соседних полукругов.

5. Рассмотрим один из лепестков, например, верхний правый. Он образован дугой полукруга, построенного на верхней стороне квадрата, и дугой полукруга, построенного на правой стороне квадрата. Обе эти дуги проходят через центр квадрата.

6. Найдем площадь одного такого лепестка. Каждый лепесток состоит из двух одинаковых круговых сегментов. Рассмотрим полукруг, построенный на верхней стороне квадрата. Его центр $O_1$ находится в середине этой стороны. Радиус этого полукруга равен $r = b/2$. Дуга этого полукруга проходит через центр квадрата $O_{кв}$ (который является точкой пересечения диагоналей квадрата).

7. Рассмотрим сектор этого полукруга, образованный его центром $O_1$, правым верхним углом квадрата $B$, и центром квадрата $O_{кв}$. Поскольку $O_1B = b/2$ и $O_1O_{кв} = b/2$ (расстояние от середины стороны до центра квадрата равно половине стороны), то треугольник $O_1BO_{кв}$ является прямоугольным и равнобедренным. Угол $BO_1O_{кв}$ равен $90^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$ радиан).

8. Площадь такого сектора $S_{сектор} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{16}$.

9. Площадь треугольника $O_1BO_{кв}$ (прямоугольного с катетами $b/2$) равна $S_{треугольник} = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 = \frac{1}{2} \times \frac{b}{2} \times \frac{b}{2} = \frac{b^2}{8}$.

10. Площадь одного кругового сегмента (который является половиной лепестка) равна разности площади сектора и площади треугольника: $S_{сегмент} = S_{сектор} - S_{треугольник} = \frac{\pi b^2}{16} - \frac{b^2}{8}$.

11. Каждый лепесток розетки состоит из двух таких одинаковых круговых сегментов (один от верхнего полукруга, другой от правого полукруга). Следовательно, площадь одного лепестка $S_{лепесток} = 2 \times S_{сегмент} = 2 \left(\frac{\pi b^2}{16} - \frac{b^2}{8}\right) = \frac{\pi b^2}{8} - \frac{b^2}{4}$.

12. Поскольку розетка состоит из четырех таких лепестков, ее общая площадь $S_{розетка}$ равна учетверенной площади одного лепестка:

$S_{розетка} = 4 \times S_{лепесток} = 4 \left(\frac{\pi b^2}{8} - \frac{b^2}{4}\right) = \frac{4\pi b^2}{8} - \frac{4b^2}{4} = \frac{\pi b^2}{2} - b^2$.

Ответ:

Площадь полученной розетки: $\frac{\pi b^2}{2} - b^2$.