Номер 447, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

447.

a) У квадрата со стороной $b$ «срезали» углы так, что получился правильный восьмиугольник. Найдите сторону этого восьмиугольника.

б) В правильном двенадцатиугольнике со стороной $a$ соединены середины шести сторон, взятых через одну так, что получился правильный шестиугольник. Найдите его сторону.

a) У квадрата со стороной $b$ «срезали» углы так, что получился правильный восьмиугольник. Найдите сторону этого восьмиугольника.

Дано:

сторона квадрата: $b$

Найти:

сторона правильного восьмиугольника: $x$

Решение:

Пусть $x$ – сторона правильного восьмиугольника. При "срезании" углов квадрата образуются четыре равных прямоугольных равнобедренных треугольника по углам. Пусть $y$ – длина катета такого треугольника. Гипотенуза этого треугольника является стороной восьмиугольника.

По теореме Пифагора для такого треугольника: $y^2 + y^2 = x^2$.

$2y^2 = x^2$

$y\sqrt{2} = x$

$y = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Сторона квадрата $b$ состоит из двух катетов $y$ и одной стороны восьмиугольника $x$:

$b = y + x + y$

$b = 2y + x$

Подставим выражение для $y$:

$b = 2 \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + x$

$b = \frac{2x}{\sqrt{2}} + x$

$b = x\sqrt{2} + x$

$b = x(\sqrt{2} + 1)$

Выразим $x$:

$x = \frac{b}{\sqrt{2} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$x = \frac{b(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$

$x = \frac{b(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1}$

$x = b(\sqrt{2} - 1)$

Ответ: $b(\sqrt{2} - 1)$

б) В правильном двенадцатиугольнике со стороной $a$ соединены середины шести сторон, взятых через одну так, что получился правильный шестиугольник. Найдите его сторону.

Дано:

сторона правильного двенадцатиугольника: $a$

Найти:

сторона правильного шестиугольника: $s$

Решение:

Рассмотрим правильный двенадцатиугольник с центром в точке $O$. Угол, который образует каждая сторона двенадцатиугольника в центре, равен $360^\circ / 12 = 30^\circ$.

Пусть $R$ – радиус описанной окружности двенадцатиугольника, а $r$ – радиус вписанной окружности (апофема). Сторона $a$ двенадцатиугольника связана с $R$ и $r$ следующими формулами:

$a = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{12}\right) = 2R \sin(15^\circ)$

$r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{12}\right) = R \cos(15^\circ)$

Из этих формул можно найти $r$ через $a$:

$R = \frac{a}{2 \sin(15^\circ)}$

$r = \frac{a}{2 \sin(15^\circ)} \cos(15^\circ) = \frac{a}{2 \tan(15^\circ)}$

Новый шестиугольник образован соединением середин шести сторон, взятых через одну. Вершины этого шестиугольника являются серединами сторон двенадцатиугольника. Расстояние от центра двенадцатиугольника до середины любой его стороны равно апофеме $r$. Таким образом, вершины нового шестиугольника находятся на расстоянии $r$ от центра $O$.

Так как это правильный шестиугольник, его сторона $s$ равна радиусу описанной вокруг него окружности. В данном случае, радиус описанной окружности этого шестиугольника равен $r$.

Следовательно, $s = r = \frac{a}{2 \tan(15^\circ)}$.

Найдем значение $\tan(15^\circ)$:

$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}$

$\tan(45^\circ) = 1$

$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:

$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Теперь подставим это значение в формулу для $s$:

$s = \frac{a}{2(2 - \sqrt{3})}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на $(2 + \sqrt{3})$:

$s = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2(2^2 - (\sqrt{3})^2)} = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2(4 - 3)} = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2(1)}$

$s = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2}$

Ответ: $\frac{a(2 + \sqrt{3})}{2}$