Номер 441, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

441. В прямоугольном $\triangle ABC (\angle C = 90^\circ) AC = 18$ см, $\angle B = 60^\circ$.

Построен круг с центром в точке C, касающийся гипотенузы.

Найдите площадь сектора, заключенного внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. Угол $C = 90^\circ$. Длина стороны $AC = 18$ см. Угол $B = 60^\circ$. Построен круг с центром в точке $C$, касающийся гипотенузы $AB$.

$AC = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$.

Площадь сектора, заключенного внутри треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$.

Так как $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$, то $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Круг построен с центром в точке $C$ и касается гипотенузы $AB$. Это означает, что радиус $R$ этого круга равен длине высоты $CH$, опущенной из вершины $C$ на гипотенузу $AB$.

Для нахождения высоты $CH$ воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ катет $AC$ прилегает к углу $A$ и противолежит углу $B$. Высоту $CH$ можно найти из треугольника $\triangle CHA$, который также является прямоугольным (так как $CH \perp AB$).

В $\triangle CHA$: $\angle CHA = 90^\circ$. Мы знаем $AC = 18$ см и $\angle A = 30^\circ$.

Радиус $R$ равен высоте $CH$. Используем синус угла $A$:

$CH = AC \cdot \sin(\angle A)$

$R = 18 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ)$

$R = 18 \text{ см} \cdot \frac{1}{2}$

$R = 9$ см.

Таким образом, радиус сектора $R = 9$ см.

Угол сектора, заключенного внутри треугольника, равен углу $C$ треугольника, то есть $90^\circ$.

Площадь сектора $S_{сектора}$ вычисляется по формуле: $S_{сектора} = \pi R^2 \frac{\text{угол сектора}}{360^\circ}$.

$S_{сектора} = \pi (9 \text{ см})^2 \frac{90^\circ}{360^\circ}$

$S_{сектора} = \pi \cdot 81 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{4}$

$S_{сектора} = \frac{81\pi}{4}$ см$^2$.

Площадь сектора, заключенного внутри треугольника, равна $\frac{81\pi}{4}$ см$^2$.