Номер 435, страница 178 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

435. Найдите радианную меру угла между двумя касательными, проведенными через одну точку, если радианные меры дуг, на которые окружность разделена точками касания, относятся как 3 : 2.

Дано:

Окружность разделена точками касания на две дуги. Обозначим их радианные меры как $L_1$ и $L_2$.

Отношение радианных мер дуг: $L_1 : L_2 = 3 : 2$.

Перевод в систему СИ:

Радианная мера является стандартной единицей для углов в системе СИ. Общая радианная мера всей окружности составляет $2\pi$ радиан.

Найти:

Радианную меру угла $\alpha$ между двумя касательными.

Решение:

Пусть радианные меры двух дуг, на которые окружность разделена точками касания, будут $3x$ и $2x$, в соответствии с заданным отношением.

Сумма радианных мер этих двух дуг равна полной радианной мере окружности, которая составляет $2\pi$ радиан.

Составим уравнение:

$3x + 2x = 2\pi$

Объединим подобные члены:

$5x = 2\pi$

Выразим $x$:

$x = \frac{2\pi}{5}$

Теперь найдем радианные меры каждой дуги:

Меньшая дуга $L_2 = 2x = 2 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}$ радиан.

Большая дуга $L_1 = 3x = 3 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{6\pi}{5}$ радиан.

Проверим, что сумма дуг равна $2\pi$: $L_1 + L_2 = \frac{6\pi}{5} + \frac{4\pi}{5} = \frac{10\pi}{5} = 2\pi$. Сумма верна.

Угол $\alpha$ между двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен половине разности радианных мер большей и меньшей дуг, заключенных между точками касания. Формула для угла между двумя касательными:

$\alpha = \frac{1}{2} (L_1 - L_2)$

Подставим найденные значения $L_1$ и $L_2$ в формулу:

$\alpha = \frac{1}{2} \left( \frac{6\pi}{5} - \frac{4\pi}{5} \right)$

Выполним вычитание в скобках:

$\alpha = \frac{1}{2} \left( \frac{6\pi - 4\pi}{5} \right)$

$\alpha = \frac{1}{2} \left( \frac{2\pi}{5} \right)$

Выполним умножение:

$\alpha = \frac{2\pi}{10}$

Сократим дробь:

$\alpha = \frac{\pi}{5}$

Ответ:

Радианная мера угла между двумя касательными равна $\frac{\pi}{5}$ радиан.