Номер 429, страница 178 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

429. Можно ли провести прямую так, чтобы она отсекла от данного треугольника ему подобный и не была параллельной ни одной его стороне, если треугольник:

а) разносторонний;

б) равнобедренный;

в) равносторонний?

Если можно, приведите пример.

Данная задача просит определить, можно ли провести прямую, которая отсечет от исходного треугольника подобный ему треугольник, при этом сама прямая не должна быть параллельна ни одной из сторон исходного треугольника.

Рассмотрим общее свойство подобных треугольников. Если прямая пересекает две стороны треугольника, образуя меньший треугольник, вершина которого совпадает с одной из вершин исходного треугольника, то для того, чтобы этот меньший треугольник был подобен исходному, прямая обязательно должна быть параллельна третьей стороне. Докажем это.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$. Предположим, что прямая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно, так что образуется треугольник $\triangle ADE$, где точка $D$ лежит на отрезке $AB$, а точка $E$ — на отрезке $AC$.

Для того чтобы $\triangle ADE$ был подобен $\triangle ABC$ (обозначается как $\triangle ADE \sim \triangle ABC$), должны выполняться следующие условия по признаку подобия по двум углам (AA):

• Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников ($ \angle A = \angle A $).

• Соответствующие углы должны быть равны: $\angle ADE = \angle ABC$ и $\angle AED = \angle ACB$.

Рассмотрим условие $\angle ADE = \angle ABC$. Эти углы являются соответственными углами, образованными при пересечении двух прямых $DE$ и $BC$ секущей $AB$. Согласно теореме о параллельных прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Таким образом, из условия $\angle ADE = \angle ABC$ следует, что прямая $DE$ параллельна стороне $BC$ ($DE \parallel BC$).

Это заключение противоречит условию задачи, которое явно указывает: "и не была параллельной ни одной его стороне". Следовательно, независимо от типа исходного треугольника, провести такую прямую невозможно.

Для разностороннего треугольника это утверждение также верно. Если мы отсекаем подобный треугольник, используя одну из вершин исходного, то линия отсечения будет параллельна противоположной стороне, что запрещено условием. Например, если отсекается треугольник $\triangle ADE$ от вершины $A$, то $DE$ будет параллельна $BC$. Поскольку разносторонний треугольник не имеет равных сторон или углов, это не влияет на условия подобия или параллельности.

Ответ: Нет.

В случае равнобедренного треугольника, например $\triangle ABC$ с $AB = AC$, свойство подобия и параллельности сохраняется. Если мы отсекаем подобный треугольник, например $\triangle ADE$ от вершины $A$, то линия $DE$ все равно будет параллельна основанию $BC$. Если же мы попытаемся отсечь подобный треугольник от одной из вершин при основании, например $\triangle BDF$ от вершины $B$, то $DF$ будет параллельна $AC$. В любом случае, чтобы отсеченный треугольник был подобен исходному и имел общую вершину, линия отсечения должна быть параллельна одной из сторон. Это противоречит условию задачи.

Ответ: Нет.

Для равностороннего треугольника $\triangle ABC$ все углы равны $60^\circ$. Если от него отсекается подобный треугольник $\triangle ADE$, то $\triangle ADE$ также будет равносторонним (поскольку его углы также должны быть $60^\circ$). Чтобы это произошло, прямая $DE$ должна быть параллельна стороне $BC$. Это опять же противоречит условию задачи.

Ответ: Нет.