Номер 423, страница 177 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

423. В четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $AO = OC = 4$, $BO = 2$, $DO = 8$, $\angle BOC = 60^\circ$. Найдите косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Дано

• Четырехугольник $ABCD$
• Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$
• $AO = 4$
• $OC = 4$
• $BO = 2$
• $DO = 8$
• $\angle BOC = 60^\circ$

Единицы измерения соответствуют условию задачи.

Найти:

• Косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ ($\cos(\angle (\vec{AB}, \vec{DC}))$)

Решение

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется формула:$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Введем систему координат с началом в точке $O$. Пусть $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ будут базисными векторами (не ортогональными).

Из условия $AO = OC = 4$ и того, что $O$ является точкой пересечения диагоналей, следует, что векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ направлены противоположно. То есть $\vec{OC} = -\vec{OA}$.

Из условия $BO = 2$ и $DO = 8$ и того, что $O$ является точкой пересечения диагоналей, следует, что векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ направлены противоположно. При этом длина вектора $\vec{OD}$ в $DO/BO = 8/2 = 4$ раза больше длины вектора $\vec{OB}$. То есть $\vec{OD} = -4\vec{OB}$.

Обозначим $\vec{OA} = \vec{u}$ и $\vec{OB} = \vec{v}$.

Тогда:

• $|\vec{u}| = AO = 4$
• $|\vec{v}| = BO = 2$
• $\vec{OC} = -\vec{u}$
• $\vec{OD} = -4\vec{v}$

Найдем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ через векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

• $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{v} - \vec{u}$
• $\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD} = (-\vec{u}) - (-4\vec{v}) = 4\vec{v} - \vec{u}$

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{DC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = (\vec{v} - \vec{u}) \cdot (4\vec{v} - \vec{u})$$= 4(\vec{v} \cdot \vec{v}) - \vec{v} \cdot \vec{u} - 4(\vec{u} \cdot \vec{v}) + (\vec{u} \cdot \vec{u})$$= 4|\vec{v}|^2 - 5(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{u}|^2$

Для вычисления скалярного произведения $\vec{u} \cdot \vec{v}$, нам нужен угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, то есть $\angle AOB$.Угол $\angle BOC = 60^\circ$. Поскольку точки $A, O, C$ лежат на одной прямой, угол $\angle AOB$ и $\angle BOC$ являются смежными.

Следовательно, $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь вычислим $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\angle AOB) = 4 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ) = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -4$

Подставим значения $|\vec{u}|$, $|\vec{v}|$ и $\vec{u} \cdot \vec{v}$ в формулу для скалярного произведения $\vec{AB} \cdot \vec{DC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 4(2^2) - 5(-4) + 4^2 = 4(4) + 20 + 16 = 16 + 20 + 16 = 52$

Теперь найдем длины векторов $|\vec{AB}|$ и $|\vec{DC}|$:

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{v} - \vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{u}|^2$$= 2^2 - 2(-4) + 4^2 = 4 + 8 + 16 = 28$$|\vec{AB}| = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$|\vec{DC}|^2 = |4\vec{v} - \vec{u}|^2 = (4\vec{v})^2 - 2(4\vec{v} \cdot \vec{u}) + |\vec{u}|^2$$= 16|\vec{v}|^2 - 8(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{u}|^2$$= 16(2^2) - 8(-4) + 4^2 = 16(4) + 32 + 16 = 64 + 32 + 16 = 112$$|\vec{DC}| = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$

Наконец, вычислим косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:

$\cos(\angle (\vec{AB}, \vec{DC})) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{DC}}{|\vec{AB}| |\vec{DC}|} = \frac{52}{(2\sqrt{7})(4\sqrt{7})}$$= \frac{52}{8 \cdot (\sqrt{7})^2} = \frac{52}{8 \cdot 7} = \frac{52}{56}$

Сократим дробь $\frac{52}{56}$ на 4:

$\frac{52 \div 4}{56 \div 4} = \frac{13}{14}$

Ответ: $\frac{13}{14}$