Номер 416, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

416. a) Сколько сторон имеет многоугольник, сумма углов которого равна $1080^{\circ}$?

б) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, сумма углов которого вдвое больше суммы углов выпуклого девятиугольника?

Дано
а) $S_n = 1080^\circ$
б) Многоугольник выпуклый. $S_k = 2 \cdot S_9$, где $S_k$ - сумма углов искомого многоугольника, $S_9$ - сумма углов выпуклого девятиугольника.

Найти:
а) Количество сторон $n$
б) Количество сторон $k$

Решение

а) Сколько сторон имеет многоугольник, сумма углов которого равна 1080°?

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле: $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$.
По условию, $S_n = 1080^\circ$. Подставим это значение в формулу:
$1080^\circ = (n - 2) \cdot 180^\circ$
Разделим обе части уравнения на $180^\circ$:
$\frac{1080^\circ}{180^\circ} = n - 2$
$6 = n - 2$
Теперь выразим $n$:
$n = 6 + 2$
$n = 8$

Ответ: 8

б) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, сумма углов которого вдвое больше суммы углов выпуклого девятиугольника?

Сначала найдем сумму углов выпуклого девятиугольника. У девятиугольника $n_9 = 9$ сторон. Используем ту же формулу $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$:
$S_9 = (9 - 2) \cdot 180^\circ$
$S_9 = 7 \cdot 180^\circ$
$S_9 = 1260^\circ$
По условию, сумма углов искомого многоугольника ($S_k$) вдвое больше суммы углов девятиугольника:
$S_k = 2 \cdot S_9$
$S_k = 2 \cdot 1260^\circ$
$S_k = 2520^\circ$
Теперь, зная сумму углов искомого многоугольника ($S_k = 2520^\circ$), найдем количество его сторон ($k$) по формуле $S_k = (k - 2) \cdot 180^\circ$:
$2520^\circ = (k - 2) \cdot 180^\circ$
Разделим обе части уравнения на $180^\circ$:
$\frac{2520^\circ}{180^\circ} = k - 2$
$14 = k - 2$
Теперь выразим $k$:
$k = 14 + 2$
$k = 16$

Ответ: 16