Страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

411. Найдите координаты вектора $\vec{m}$, коллинеарного вектору $\vec{n}(-3; 4)$, если $|\vec{m}| = 35$.

412. Найдите координаты точки в которой пересекают

411. Дано:

Вектор $\vec{n}$ имеет координаты $(-3; 4)$.

Вектор $\vec{m}$ коллинеарен вектору $\vec{n}$.

Модуль вектора $\vec{m}$ равен $|\vec{m}|=35$.

Найти:

Координаты вектора $\vec{m}$.

Решение:

Если два вектора коллинеарны, это означает, что один из них может быть представлен как произведение другого на некоторое скалярное число $k$. То есть, $\vec{m} = k \vec{n}$.

Зная координаты вектора $\vec{n}(-3; 4)$, мы можем записать координаты вектора $\vec{m}$ как $(-3k; 4k)$.

Далее, найдем модуль (длину) вектора $\vec{n}$:$|\vec{n}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2}$$|\vec{n}| = \sqrt{9 + 16}$$|\vec{n}| = \sqrt{25}$$|\vec{n}| = 5$

Мы знаем, что модуль вектора $\vec{m}$ равен $35$. Используя свойство модуля произведения вектора на скаляр, мы имеем:

$|\vec{m}| = |k \vec{n}| = |k| \cdot |\vec{n}|$

Подставим известные значения в это уравнение:

$35 = |k| \cdot 5$

Чтобы найти значение $|k|$, разделим обе стороны уравнения на 5:

$|k| = \frac{35}{5}$

$|k| = 7$

Из этого следует, что скаляр $k$ может быть либо $7$, либо $-7$. Рассмотрим оба возможных случая для вектора $\vec{m}$:

Случай 1: $k = 7$

Подставим $k=7$ в выражение для координат вектора $\vec{m}$:$\vec{m} = (-3 \cdot 7; 4 \cdot 7)$$\vec{m} = (-21; 28)$

Случай 2: $k = -7$

Подставим $k=-7$ в выражение для координат вектора $\vec{m}$:$\vec{m} = (-3 \cdot (-7); 4 \cdot (-7))$$\vec{m} = (21; -28)$

Оба этих вектора коллинеарны вектору $\vec{n}$ и имеют длину, равную 35.

Ответ: Координаты вектора $\vec{m}$ могут быть $(-21; 28)$ или $(21; -28)$.

412. Найдите координаты точки, в которую переходит точка $M(0,5; 1,5)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AB} (3; -4)$.

Дано

точка $M(0.5; 1.5)$

вектор $\vec{AB}(3; -4)$

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача оперирует координатами, не имеющими физических единиц.

Найти

координаты точки $M'(x'; y')$

Решение

При параллельном переносе точка $M(x_M; y_M)$ переходит в точку $M'(x'; y')$ по правилу сложения координат: к каждой координате исходной точки прибавляется соответствующая координата вектора переноса.

Формулы для координат новой точки $M'$:$x' = x_M + x_{\vec{AB}}$$y' = y_M + y_{\vec{AB}}$

Подставляем известные значения: $x_M = 0.5$, $y_M = 1.5$, $x_{\vec{AB}} = 3$, $y_{\vec{AB}} = -4$.

Для координаты $x'$:$x' = 0.5 + 3 = 3.5$

Для координаты $y'$:$y' = 1.5 + (-4) = 1.5 - 4 = -2.5$

Таким образом, координаты точки $M'$, в которую переходит точка $M$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AB}$, равны $(3.5; -2.5)$.

Ответ

координаты точки: $M'(3.5; -2.5)$

413. Подобны ли два треугольника, если:

a) они прямоугольные и катеты одного равны 3 дм и 4 дм, а катеты другого – 0,6 дм и 0,8 дм;

б) стороны одного 3 см, 4 см и 6 см, а стороны другого – 6 см, 8 см и 12 см?

а)

Дано:

Первый прямоугольный треугольник имеет катеты $a_1 = 3 \text{ дм}$, $b_1 = 4 \text{ дм}$.

Второй прямоугольный треугольник имеет катеты $a_2 = 0.6 \text{ дм}$, $b_2 = 0.8 \text{ дм}$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

$b_1 = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

$a_2 = 0.6 \text{ дм} = 0.06 \text{ м}$

$b_2 = 0.8 \text{ дм} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Подобны ли треугольники?

Решение:

Два прямоугольных треугольника подобны, если отношение их соответствующих катетов равно. Сравним отношения катетов:

Отношение первых катетов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3 \text{ дм}}{0.6 \text{ дм}} = 5$.

Отношение вторых катетов: $\frac{b_1}{b_2} = \frac{4 \text{ дм}}{0.8 \text{ дм}} = 5$.

Так как отношения соответствующих катетов равны ($5 = 5$), то треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, в данном случае прямому углу).

Ответ: Да, подобны.

б)

Дано:

Первый треугольник имеет стороны $s_{1,1} = 3 \text{ см}$, $s_{1,2} = 4 \text{ см}$, $s_{1,3} = 6 \text{ см}$.

Второй треугольник имеет стороны $s_{2,1} = 6 \text{ см}$, $s_{2,2} = 8 \text{ см}$, $s_{2,3} = 12 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$s_{1,1} = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$s_{1,2} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$s_{1,3} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$s_{2,1} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$s_{2,2} = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$s_{2,3} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Подобны ли треугольники?

Решение:

Два треугольника подобны, если их соответствующие стороны пропорциональны. Сравним отношения сторон, расположив их по возрастанию:

Отношение первых сторон: $\frac{s_{1,1}}{s_{2,1}} = \frac{3 \text{ см}}{6 \text{ см}} = 0.5$.

Отношение вторых сторон: $\frac{s_{1,2}}{s_{2,2}} = \frac{4 \text{ см}}{8 \text{ см}} = 0.5$.

Отношение третьих сторон: $\frac{s_{1,3}}{s_{2,3}} = \frac{6 \text{ см}}{12 \text{ см}} = 0.5$.

Так как отношения всех соответствующих сторон равны ($0.5 = 0.5 = 0.5$), то треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем пропорциональным сторонам).

Ответ: Да, подобны.

414. По данным на рисунках 208, а, б, в, г найдите $x$.

а)

C, B, $50^\circ$, $x$, O, A

б)

D, A, $x$, O, B, C, $50^\circ$

в)

D, B, $60^\circ$, $x$, K, A, $50^\circ$, C

г)

A, B, $90^\circ$, $40^\circ$, $x$, F, D, C

Рисунок 208

а)

Дано

Окружность с центром O.

AB - диаметр.

Дуга CB $= 50^\circ$.

Угол $\angle \text{CBO} = x$.

Перевод в СИ

Так как вычисления проводятся в градусах, перевод в СИ не требуется.

Найти

$x$

Решение

Угол $\angle \text{COB}$ является центральным углом, опирающимся на дугу CB. Следовательно, $\angle \text{COB} = 50^\circ$.

Треугольник BOC является равнобедренным, так как OC и OB - радиусы окружности, то есть OC = OB.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle \text{OCB} = \angle \text{OBC}$.

Сумма углов в треугольнике BOC равна $180^\circ$.

$\angle \text{OCB} + \angle \text{OBC} + \angle \text{COB} = 180^\circ$.

$2 \cdot \angle \text{OBC} + 50^\circ = 180^\circ$.

$2 \cdot \angle \text{OBC} = 180^\circ - 50^\circ$.

$2 \cdot \angle \text{OBC} = 130^\circ$.

$\angle \text{OBC} = \frac{130^\circ}{2}$.

$\angle \text{OBC} = 65^\circ$.

Так как $\angle \text{OBC} = x$, то $x = 65^\circ$.

Ответ: $x = 65^\circ$

б)

Дано

Касательная AD к окружности в точке A.

Хорда AC.

AB - диаметр.

Дуга BC $= 50^\circ$.

Угол $\angle \text{DAC} = x$.

Перевод в СИ

Так как вычисления проводятся в градусах, перевод в СИ не требуется.

Найти

$x$

Решение

Угол между касательной AD и хордой AC, проведенной из точки касания A, равен половине меры дуги, заключенной между ними (дуги AC).

То есть $x = \angle \text{DAC} = \frac{1}{2} \cdot \text{дуги AC}$.

Так как AB - диаметр, то дуга AB равна $180^\circ$.

Дуга AC = дуга AB - дуга BC.

Дуга AC $= 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Теперь подставим значение дуги AC в формулу для угла $x$:

$x = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ$.

$x = 65^\circ$.

Ответ: $x = 65^\circ$

в)

Дано

Две хорды AD и CB пересекаются в точке K.

Дуга AC $= 50^\circ$.

Дуга BD $= 60^\circ$.

Угол $\angle \text{AKC} = x$.

Перевод в СИ

Так как вычисления проводятся в градусах, перевод в СИ не требуется.

Найти

$x$

Решение

Угол, образованный двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен половине суммы мер дуг, заключенных между его сторонами и продолжениями сторон.

$\angle \text{AKC} = \frac{1}{2} \cdot (\text{дуги AC} + \text{дуги BD})$.

Подставим данные значения:

$x = \frac{1}{2} \cdot (50^\circ + 60^\circ)$.

$x = \frac{1}{2} \cdot (110^\circ)$.

$x = 55^\circ$.

Ответ: $x = 55^\circ$

г)

Дано

Две секущие AC и FC пересекаются в точке C вне окружности.

Дуга AF $= 90^\circ$.

Дуга BD $= 40^\circ$.

Угол $\angle \text{C} = x$.

Перевод в СИ

Так как вычисления проводятся в градусах, перевод в СИ не требуется.

Найти

$x$

Решение

Угол, образованный двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен половине разности мер большей и меньшей дуг, заключенных между ними.

$\angle \text{C} = \frac{1}{2} \cdot (\text{дуги AF} - \text{дуги BD})$.

Подставим данные значения:

$x = \frac{1}{2} \cdot (90^\circ - 40^\circ)$.

$x = \frac{1}{2} \cdot (50^\circ)$.

$x = 25^\circ$.

Ответ: $x = 25^\circ$

415. Дана трапеция ABCD с основаниями $BC = 18$ см, $AD = 24$ см. Диагонали трапеции пересекаются в точке K, и площадь $\triangle AKD$ равна $84 \text{ см}^2$. Найдите площадь $\triangle BKC$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC = 18$ см и $AD = 24$ см.

Диагонали трапеции пересекаются в точке $K$.

Площадь $\triangle AKD$ ($S_{AKD}$) равна $84$ см$^2$.

Перевод в СИ:

$BC = 18$ см $= 0.18$ м

$AD = 24$ см $= 0.24$ м

$S_{AKD} = 84$ см$^2 = 0.0084$ м$^2$

Найти:

Площадь $\triangle BKC$ ($S_{BKC}$).

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle AKD$.

Поскольку $ABCD$ является трапецией, её основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

При параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущих $BD$ и $AC$ имеем:

$\angle KBC = \angle KDA$ (как накрест лежащие углы).

$\angle KCB = \angle KAD$ (как накрест лежащие углы).

$\angle BKC = \angle AKD$ (как вертикальные углы).

Поскольку все три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, $\triangle BKC$ подобен $\triangle AKD$ (по первому признаку подобия треугольников).

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению соответствующих сторон. В данном случае это отношение оснований трапеции:

$k = \frac{BC}{AD}$

Подставляем известные значения:

$k = \frac{18 \text{ см}}{24 \text{ см}} = \frac{3}{4}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{BKC}}{S_{AKD}} = k^2$

$\frac{S_{BKC}}{S_{AKD}} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2$

Теперь выразим $S_{BKC}$:

$S_{BKC} = S_{AKD} \cdot \left(\frac{BC}{AD}\right)^2$

Подставляем известные значения $S_{AKD} = 84$ см$^2$ и $k = \frac{3}{4}$:

$S_{BKC} = 84 \text{ см}^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2$

$S_{BKC} = 84 \cdot \frac{9}{16}$

$S_{BKC} = \frac{84 \cdot 9}{16}$

$S_{BKC} = \frac{756}{16}$

$S_{BKC} = 47.25$

Таким образом, площадь $\triangle BKC$ равна $47.25$ см$^2$.

Ответ: $47.25$ см$^2$.

416. a) Сколько сторон имеет многоугольник, сумма углов которого равна $1080^{\circ}$?

б) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, сумма углов которого вдвое больше суммы углов выпуклого девятиугольника?

Дано
а) $S_n = 1080^\circ$
б) Многоугольник выпуклый. $S_k = 2 \cdot S_9$, где $S_k$ - сумма углов искомого многоугольника, $S_9$ - сумма углов выпуклого девятиугольника.

Найти:
а) Количество сторон $n$
б) Количество сторон $k$

Решение

а) Сколько сторон имеет многоугольник, сумма углов которого равна 1080°?

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле: $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$.
По условию, $S_n = 1080^\circ$. Подставим это значение в формулу:
$1080^\circ = (n - 2) \cdot 180^\circ$
Разделим обе части уравнения на $180^\circ$:
$\frac{1080^\circ}{180^\circ} = n - 2$
$6 = n - 2$
Теперь выразим $n$:
$n = 6 + 2$
$n = 8$

Ответ: 8

б) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, сумма углов которого вдвое больше суммы углов выпуклого девятиугольника?

Сначала найдем сумму углов выпуклого девятиугольника. У девятиугольника $n_9 = 9$ сторон. Используем ту же формулу $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$:
$S_9 = (9 - 2) \cdot 180^\circ$
$S_9 = 7 \cdot 180^\circ$
$S_9 = 1260^\circ$
По условию, сумма углов искомого многоугольника ($S_k$) вдвое больше суммы углов девятиугольника:
$S_k = 2 \cdot S_9$
$S_k = 2 \cdot 1260^\circ$
$S_k = 2520^\circ$
Теперь, зная сумму углов искомого многоугольника ($S_k = 2520^\circ$), найдем количество его сторон ($k$) по формуле $S_k = (k - 2) \cdot 180^\circ$:
$2520^\circ = (k - 2) \cdot 180^\circ$
Разделим обе части уравнения на $180^\circ$:
$\frac{2520^\circ}{180^\circ} = k - 2$
$14 = k - 2$
Теперь выразим $k$:
$k = 14 + 2$
$k = 16$

Ответ: 16

417. Найдите площадь треугольника со сторонами 8 см, 12 см, 16 см.

Дано:

Стороны треугольника:

$a = 8\text{ см}$

$b = 12\text{ см}$

$c = 16\text{ см}$

Переводим данные в систему СИ:

$a = 8 \times 10^{-2}\text{ м}$

$b = 12 \times 10^{-2}\text{ м}$

$c = 16 \times 10^{-2}\text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используем формулу Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2}$

$p = \frac{8\text{ см} + 12\text{ см} + 16\text{ см}}{2} = \frac{36\text{ см}}{2} = 18\text{ см}$

В системе СИ:

$p = \frac{0.08\text{ м} + 0.12\text{ м} + 0.16\text{ м}}{2} = \frac{0.36\text{ м}}{2} = 0.18\text{ м}$

Теперь вычислим значения $(p-a)$, $(p-b)$ и $(p-c)$:

$p-a = 18\text{ см} - 8\text{ см} = 10\text{ см}$

$p-b = 18\text{ см} - 12\text{ см} = 6\text{ см}$

$p-c = 18\text{ см} - 16\text{ см} = 2\text{ см}$

В системе СИ:

$p-a = 0.18\text{ м} - 0.08\text{ м} = 0.10\text{ м}$

$p-b = 0.18\text{ м} - 0.12\text{ м} = 0.06\text{ м}$

$p-c = 0.18\text{ м} - 0.16\text{ м} = 0.02\text{ м}$

Подставим эти значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{18\text{ см} \times 10\text{ см} \times 6\text{ см} \times 2\text{ см}}$

$S = \sqrt{2160\text{ см}^4}$

Упростим выражение под корнем:

$2160 = 144 \times 15 = 12^2 \times 15$

$S = \sqrt{12^2 \times 15}\text{ см}^2 = 12\sqrt{15}\text{ см}^2$

В системе СИ:

$S = \sqrt{0.18\text{ м} \times 0.10\text{ м} \times 0.06\text{ м} \times 0.02\text{ м}}$

$S = \sqrt{0.0000216\text{ м}^4}$

$S = \sqrt{2160 \times 10^{-8}\text{ м}^4}$

$S = \sqrt{2160} \times 10^{-4}\text{ м}^2$

$S = 12\sqrt{15} \times 10^{-4}\text{ м}^2$

Поскольку $1\text{ м}^2 = 10^4\text{ см}^2$, то $10^{-4}\text{ м}^2 = 1\text{ см}^2$. Таким образом, результат в системе СИ соответствует результату в сантиметрах.

Ответ:

Площадь треугольника $S = 12\sqrt{15}\text{ см}^2$.

418. Найдите неизвестные стороны и углы $\triangle ABC$, если:

а) $BC = AB = 4$ дм, $\angle A = 30^\circ$;

б) $AC = 15$ мм, $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 50^\circ$;

в) $AB = 5$ см, $AC = 9$ см, $\sin A = \frac{4}{5}$.

а)

Дано:

В треугольнике $\triangle ABC$: $BC = AB = 4$ дм, $\angle A = 30^\circ$.

Перевод в СИ:

$AB = 4$ дм $= 0.4$ м

$BC = 4$ дм $= 0.4$ м

Найти:

$AC$, $\angle B$, $\angle C$.

Решение:

Поскольку в $\triangle ABC$ стороны $BC$ и $AB$ равны ($BC = AB = 4$ дм), треугольник является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle C = \angle A$.

$\angle C = 30^\circ$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$.

$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.

Для нахождения стороны $AC$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

$AC = AB \cdot \frac{\sin B}{\sin C}$

Известно, что $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Также $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

$AC = 4 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \sqrt{3}$ дм.

Ответ: $AC = 4\sqrt{3}$ дм, $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 30^\circ$.

б)

Дано:

В треугольнике $\triangle ABC$: $AC = 15$ мм, $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 50^\circ$.

Перевод в СИ:

$AC = 15$ мм $= 0.015$ м

Найти:

$AB$, $BC$, $\angle B$.

Решение:

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 50^\circ = 100^\circ$.

Для нахождения сторон $AB$ и $BC$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

Найдем $AB$:

$AB = AC \cdot \frac{\sin C}{\sin B}$

$AB = 15 \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 100^\circ}$

Используем приближенные значения: $\sin 50^\circ \approx 0.7660$, $\sin 100^\circ \approx 0.9848$.

$AB \approx 15 \cdot \frac{0.7660}{0.9848} \approx 15 \cdot 0.7778 \approx 11.67$ мм.

Найдем $BC$:

$BC = AC \cdot \frac{\sin A}{\sin B}$

$BC = 15 \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 100^\circ}$

Известно, что $\sin 30^\circ = 0.5$.

$BC \approx 15 \cdot \frac{0.5}{0.9848} \approx 15 \cdot 0.5077 \approx 7.62$ мм.

Ответ: $AB \approx 11.67$ мм, $BC \approx 7.62$ мм, $\angle B = 100^\circ$.

в)

Дано:

В треугольнике $\triangle ABC$: $AB = 5$ см, $AC = 9$ см, $\sin A = \frac{4}{5}$.

Перевод в СИ:

$AB = 5$ см $= 0.05$ м

$AC = 9$ см $= 0.09$ м

Найти:

$BC$, $\angle B$, $\angle C$.

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством для нахождения $\cos A$:

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

$\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 A = 1$

$\frac{16}{25} + \cos^2 A = 1$

$\cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\cos A = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$.

Поскольку угол $A$ является углом треугольника (от $0^\circ$ до $180^\circ$), $\sin A > 0$ всегда. Однако $\cos A$ может быть как положительным (если $A$ острый, $0^\circ < A < 90^\circ$), так и отрицательным (если $A$ тупой, $90^\circ < A < 180^\circ$). Таким образом, существует два возможных случая для треугольника.

Случай 1: Угол A острый ($\cos A = \frac{3}{5}$)

Используем теорему косинусов для нахождения стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot \frac{3}{5}$

$BC^2 = 25 + 81 - (2 \cdot 9 \cdot 3)$

$BC^2 = 25 + 81 - 54$

$BC^2 = 106 - 54 = 52$

$BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см.

Теперь найдем углы $\angle B$ и $\angle C$ с помощью теоремы синусов:

$\frac{\sin B}{AC} = \frac{\sin A}{BC}$

$\sin B = AC \cdot \frac{\sin A}{BC} = 9 \cdot \frac{4/5}{2\sqrt{13}} = \frac{36/5}{2\sqrt{13}} = \frac{36}{10\sqrt{13}} = \frac{18}{5\sqrt{13}}$

Чтобы определить, острый или тупой $\angle B$, можно использовать теорему косинусов для $\angle B$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$9^2 = 5^2 + (2\sqrt{13})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{13} \cdot \cos B$

$81 = 25 + 52 - 20\sqrt{13} \cos B$

$81 = 77 - 20\sqrt{13} \cos B$

$4 = -20\sqrt{13} \cos B$

$\cos B = -\frac{4}{20\sqrt{13}} = -\frac{1}{5\sqrt{13}}$. Так как $\cos B < 0$, угол $\angle B$ тупой.

$\angle A = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right) \approx 53.13^\circ$.

$\angle B = \arccos\left(-\frac{1}{5\sqrt{13}}\right) \approx 93.18^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 53.13^\circ - 93.18^\circ \approx 33.69^\circ$.

Для проверки $\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = 5 \cdot \frac{4/5}{2\sqrt{13}} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$. $\arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) \approx 33.69^\circ$.

Случай 2: Угол A тупой ($\cos A = -\frac{3}{5}$)

Используем теорему косинусов для нахождения стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)$

$BC^2 = 25 + 81 - (-54)$

$BC^2 = 25 + 81 + 54 = 160$

$BC = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.

Теперь найдем углы $\angle B$ и $\angle C$ с помощью теоремы синусов. Поскольку угол $A$ тупой, углы $B$ и $C$ должны быть острыми.

$\angle A = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) \approx 126.87^\circ$.

$\frac{\sin B}{AC} = \frac{\sin A}{BC}$

$\sin B = AC \cdot \frac{\sin A}{BC} = 9 \cdot \frac{4/5}{4\sqrt{10}} = \frac{36/5}{4\sqrt{10}} = \frac{36}{20\sqrt{10}} = \frac{9}{5\sqrt{10}}$

$\angle B = \arcsin\left(\frac{9}{5\sqrt{10}}\right) \approx 34.78^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 126.87^\circ - 34.78^\circ \approx 18.35^\circ$.

Для проверки $\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = 5 \cdot \frac{4/5}{4\sqrt{10}} = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$. $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \approx 18.43^\circ$. (Незначительная разница из-за округления.)

Ответ:

Существует два возможных решения:

1) Если $\angle A$ острый ($\cos A = \frac{3}{5}$): $BC = 2\sqrt{13}$ см, $\angle A \approx 53.13^\circ$, $\angle B \approx 93.18^\circ$, $\angle C \approx 33.69^\circ$.

2) Если $\angle A$ тупой ($\cos A = -\frac{3}{5}$): $BC = 4\sqrt{10}$ см, $\angle A \approx 126.87^\circ$, $\angle B \approx 34.78^\circ$, $\angle C \approx 18.43^\circ$.