Страница 169 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

383. В правильный треугольник $ABC$ со стороной 12 см вписана окружность и проведена вторая окружность с центром в точке $C$ и радиусом 6 см. Найдите площадь общей части полученных кругов.

Дано

Правильный треугольник $ABC$ со стороной $a = 12$ см.
Первая окружность вписана в треугольник $ABC$.
Вторая окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R_2 = 6$ см.

Перевод в СИ

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$R_2 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Площадь общей части полученных кругов $S_{общ}$.

Решение

1. Найдем радиус первой (вписанной) окружности $r_1$. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: $r_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
Подставляем значение $a = 12$ см: $r_1 = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Найдем расстояние $d$ между центрами окружностей. Центр первой окружности ($O_1$) совпадает с центроидом (точкой пересечения медиан, высот и биссектрис) правильного треугольника. Расстояние от вершины $C$ до центроида $O_1$ равно радиусу описанной окружности $R_{circ}$, так как медиана в правильном треугольнике делится центроидом в отношении 2:1, считая от вершины. Длина медианы (и высоты) $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Расстояние от вершины до центроида равно $\frac{2}{3}h$. $d = O_1C = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Подставляем значение $a = 12$ см: $d = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Радиус второй окружности $R_2 = 6$ см.

3. Площадь общей части двух пересекающихся кругов является суммой площадей двух круговых сегментов, образованных общей хордой. Для определения этих сегментов нам нужно найти центральные углы, соответствующие общей хорде в каждой окружности. Пусть точки пересечения окружностей - $P$ и $Q$. Треугольник $O_1CP$ имеет стороны $r_1$, $R_2$, $d$.

4. Найдем половину центрального угла $\alpha_1$ для первой окружности (с центром $O_1$) по теореме косинусов в треугольнике $O_1CP$: $\cos(\alpha_1) = \frac{r_1^2 + d^2 - R_2^2}{2r_1 d}$
$\cos(\alpha_1) = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 - 6^2}{2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3})} = \frac{12 + 48 - 36}{2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$
Следовательно, $\alpha_1 = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ радиан. Центральный угол $2\alpha_1 = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

5. Найдем половину центрального угла $\alpha_2$ для второй окружности (с центром $C$) по теореме косинусов в треугольнике $O_1CP$: $\cos(\alpha_2) = \frac{R_2^2 + d^2 - r_1^2}{2R_2 d}$
$\cos(\alpha_2) = \frac{6^2 + (4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \cdot 6 \cdot (4\sqrt{3})} = \frac{36 + 48 - 12}{48\sqrt{3}} = \frac{72}{48\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, $\alpha_2 = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ радиан. Центральный угол $2\alpha_2 = \frac{\pi}{3}$ радиан.

6. Вычислим площадь кругового сегмента первой окружности $S_{seg1}$. Формула площади сегмента: $S_{seg} = r^2 (\alpha - \frac{1}{2}\sin(2\alpha))$. $S_{seg1} = r_1^2 \left(\alpha_1 - \frac{1}{2}\sin(2\alpha_1)\right)$
$S_{seg1} = (2\sqrt{3})^2 \left(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = 12 \left(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 12 \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = 4\pi - 3\sqrt{3}$ см$^2$.

7. Вычислим площадь кругового сегмента второй окружности $S_{seg2}$. $S_{seg2} = R_2^2 \left(\alpha_2 - \frac{1}{2}\sin(2\alpha_2)\right)$
$S_{seg2} = 6^2 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = 36 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 36 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = 6\pi - 9\sqrt{3}$ см$^2$.

8. Площадь общей части кругов $S_{общ}$ равна сумме площадей этих двух сегментов: $S_{общ} = S_{seg1} + S_{seg2}$
$S_{общ} = (4\pi - 3\sqrt{3}) + (6\pi - 9\sqrt{3}) = 10\pi - 12\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ:

Площадь общей части полученных кругов равна $(10\pi - 12\sqrt{3})$ см$^2$.

384. а) Из квадратного листа жести размером $5 \times 5$ дм вырезан круг наибольшей площади. Какова площадь оставшейся части листа?

б) Из квадратного листа жести размером $8 \times 8$ см нужно вырезать кружки диаметром 1 см. Можно ли из этого листа жести вырезать 65 таких кружков?

а) Какова площадь оставшейся части листа?

Дано:

Сторона квадратного листа $a = 5$ дм

Из него вырезан круг наибольшей площади.

Перевод в СИ:

Сторона квадратного листа $a = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Площадь оставшейся части листа $S_{ост}$

Решение:

1. Найдем площадь квадратного листа $S_к$.

$S_к = a^2$

$S_к = (5 \text{ дм})^2 = 25 \text{ дм}^2$

2. Для того чтобы из квадрата вырезать круг наибольшей площади, диаметр круга должен быть равен стороне квадрата.

Диаметр круга $D = a = 5$ дм.

Радиус круга $R = D/2 = 5/2 = 2.5$ дм.

3. Найдем площадь вырезанного круга $S_{кр}$.

$S_{кр} = \pi R^2$

$S_{кр} = \pi (2.5 \text{ дм})^2 = 6.25\pi \text{ дм}^2$

4. Найдем площадь оставшейся части листа $S_{ост}$.

$S_{ост} = S_к - S_{кр}$

$S_{ост} = 25 \text{ дм}^2 - 6.25\pi \text{ дм}^2 = (25 - 6.25\pi) \text{ дм}^2$

Если использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$, то:

$S_{ост} \approx 25 - 6.25 \times 3.14 = 25 - 19.625 = 5.375 \text{ дм}^2$

Ответ: Площадь оставшейся части листа составляет $(25 - 6.25\pi) \text{ дм}^2$ (или приблизительно $5.375 \text{ дм}^2$).

б) Можно ли из этого листа жести вырезать 65 таких кружков?

Дано:

Сторона квадратного листа $L = 8$ см

Диаметр одного кружка $d = 1$ см

Требуемое количество кружков $N_{req} = 65$ шт.

Перевод в СИ:

Сторона квадратного листа $L = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Диаметр одного кружка $d = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Возможность вырезать 65 кружков.

Решение:

Рассмотрим, сколько кружков можно вырезать из квадратного листа, располагая их вплотную друг к другу по сторонам квадрата.

1. Определим, сколько кружков диаметром $d=1$ см можно разместить вдоль одной стороны квадрата длиной $L=8$ см.

Количество кружков вдоль одной стороны $N_{стор} = L / d = 8 \text{ см} / 1 \text{ см} = 8$ кружков.

2. Поскольку лист квадратный, то вдоль каждой стороны можно разместить 8 кружков. Общее количество кружков, которые можно вырезать, располагая их в виде квадратной сетки, будет:

$N_{max} = N_{стор} \times N_{стор} = 8 \times 8 = 64$ кружка.

3. Требуемое количество кружков равно 65.

Так как максимальное количество кружков, которые можно вырезать, составляет 64 штуки, а требуется 65 кружков, то вырезать 65 кружков из данного листа жести невозможно.

Ответ: Нет, нельзя вырезать 65 таких кружков.

385. a) Для изготовления колпака к новогоднему костюму вырезают сектор так, чтобы длина дуги сектора была равна обхвату головы. Найдите градусную меру дуги такого сектора, если его радиус 20 см, а обхват головы 52 см.

б) Диаметр основания юрты 5 м (рисунок 204). Чтобы накрыть войлоком крышу юрты, нужно вырезать сектор радиуса 2,76 м. Найдите градусную меру дуги этого сектора и его площадь.

Рисунок 204

а)

Дано

Радиус сектора $R = 20 \text{ см}$

Длина дуги сектора $L = 52 \text{ см}$

Перевод в СИ

$R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$L = 52 \text{ см} = 0.52 \text{ м}$

Найти

Градусная мера дуги $\alpha$

Решение

Длина дуги сектора $L$ связана с радиусом $R$ и градусной мерой угла $\alpha$ формулой:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180}$

Из этой формулы выразим градусную меру угла $\alpha$:

$\alpha = \frac{180 L}{\pi R}$

Подставим известные значения:

$\alpha = \frac{180 \times 52}{\pi \times 20}$

$\alpha = \frac{9360}{20\pi}$

$\alpha = \frac{468}{\pi}$

Приближенное значение:

$\alpha \approx \frac{468}{3.14159} \approx 149.09^\circ$

Ответ: $149.09^\circ$

б)

Дано

Диаметр основания юрты $D = 5 \text{ м}$

Радиус сектора для крыши юрты $R_с = 2.76 \text{ м}$

Перевод в СИ

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти

Градусная мера дуги $\alpha_ю$

Площадь сектора $S_с$

Решение

Чтобы накрыть войлоком крышу юрты, которая имеет форму конуса, вырезают сектор. Длина дуги этого сектора будет равна длине окружности основания юрты, а радиус сектора будет образующей конуса.

Найдем радиус основания юрты $r$:

$r = \frac{D}{2} = \frac{5 \text{ м}}{2} = 2.5 \text{ м}$

Найдем длину окружности основания юрты $C$:

$C = 2\pi r = 2\pi \times 2.5 = 5\pi \text{ м}$

Длина дуги сектора $L_с$ равна длине окружности основания юрты $C$:

$L_с = 5\pi \text{ м}$

Найдем градусную меру дуги $\alpha_ю$ сектора по формуле:

$L_с = \frac{\pi R_с \alpha_ю}{180}$

Выразим $\alpha_ю$:

$\alpha_ю = \frac{180 L_с}{\pi R_с}$

Подставим значения:

$\alpha_ю = \frac{180 \times 5\pi}{\pi \times 2.76}$

$\alpha_ю = \frac{180 \times 5}{2.76} = \frac{900}{2.76}$

Приближенное значение:

$\alpha_ю \approx 326.09^\circ$

Найдем площадь сектора $S_с$ по формуле:

$S_с = \frac{1}{2} R_с L_с$

Подставим значения:

$S_с = \frac{1}{2} \times 2.76 \times 5\pi$

$S_с = 1.38 \times 5\pi = 6.9\pi \text{ м}^2$

Приближенное значение:

$S_с \approx 6.9 \times 3.14159 \approx 21.68 \text{ м}^2$

Ответ: Градусная мера дуги $326.09^\circ$, площадь $21.68 \text{ м}^2$.