Страница 167 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Выведите формулу площади круга радиуса $R$.

2. Выведите формулу площади кругового сектора.

1. Выведите формулу площади круга радиуса R.

Решение

Площадь круга с радиусом $R$ может быть выведена с помощью интегрального исчисления. Рассмотрим круг в полярных координатах. Элемент площади $dA$ в полярных координатах выражается как $r dr d\theta$.

Для нахождения общей площади круга мы интегрируем этот элемент площади по всему кругу. Радиус $r$ изменяется от $0$ до $R$, а угол $\theta$ изменяется от $0$ до $2\pi$ радиан (полный оборот).

Площадь $S$ задается двойным интегралом:

$S = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r \,dr \,d\theta$

Сначала проинтегрируем по $r$:

$\int_{0}^{R} r \,dr = \left[ \frac{1}{2}r^2 \right]_{0}^{R} = \frac{1}{2}R^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = \frac{1}{2}R^2$

Затем проинтегрируем результат по $\theta$:

$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}R^2 \,d\theta = \frac{1}{2}R^2 \int_{0}^{2\pi} \,d\theta = \frac{1}{2}R^2 [\theta]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2}R^2 (2\pi - 0) = \pi R^2$

Ответ: $S = \pi R^2$

2. Выведите формулу площади кругового сектора.

Решение

Круговой сектор представляет собой часть круга, ограниченную двумя радиусами и дугой между ними. Его площадь пропорциональна центральному углу, который он образует.

Площадь всего круга с радиусом $R$ составляет $S_{круг} = \pi R^2$. Полный круг соответствует центральному углу $2\pi$ радиан (или $360^\circ$).

Пусть центральный угол сектора равен $\alpha$. Если угол $\alpha$ выражен в радианах, то отношение площади сектора к площади всего круга равно отношению центрального угла сектора к углу всего круга ($2\pi$ радиан):

$\frac{S_{сектор}}{S_{круг}} = \frac{\alpha}{2\pi}$

Подставим формулу площади круга:

$\frac{S_{сектор}}{\pi R^2} = \frac{\alpha}{2\pi}$

Выразим площадь сектора $S_{сектор}$:

$S_{сектор} = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{2} \alpha R^2$

Если центральный угол $\alpha^\circ$ задан в градусах, то его можно перевести в радианы по формуле $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \frac{\pi}{180^\circ}$. Тогда площадь сектора будет:

$S_{сектор} = \frac{1}{2} \left(\alpha^\circ \frac{\pi}{180^\circ}\right) R^2 = \frac{\alpha^\circ \pi R^2}{360^\circ}$

Ответ: $S_{сектор} = \frac{1}{2} \alpha R^2$ (где $\alpha$ - центральный угол в радианах) или $S_{сектор} = \frac{\alpha^\circ \pi R^2}{360^\circ}$ (где $\alpha^\circ$ - центральный угол в градусах)

369. Как изменится площадь круга, если его радиус:

а) увеличить в $k$ раз;

б) уменьшить в $k$ раз?

Дано:

Пусть начальный радиус круга равен $r$.

Начальная площадь круга $S$ определяется по формуле $S = \pi r^2$.

Найти:

Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в $k$ раз; б) уменьшить в $k$ раз.

Решение:

а) увеличить в k раз

Пусть начальный радиус круга равен $r_1$, а его начальная площадь $S_1$. Тогда $S_1 = \pi r_1^2$.

Если радиус увеличить в $k$ раз, то новый радиус $r_2$ будет равен $r_2 = k \cdot r_1$.

Найдем новую площадь $S_2$ с учетом нового радиуса:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (k \cdot r_1)^2 = \pi k^2 r_1^2$

Мы знаем, что $S_1 = \pi r_1^2$. Подставим это в выражение для $S_2$:

$S_2 = k^2 (\pi r_1^2) = k^2 S_1$

Это означает, что новая площадь $S_2$ в $k^2$ раз больше начальной площади $S_1$.

Ответ: Площадь увеличится в $k^2$ раз.

б) уменьшить в k раз

Пусть начальный радиус круга равен $r_1$, а его начальная площадь $S_1$. Тогда $S_1 = \pi r_1^2$.

Если радиус уменьшить в $k$ раз, то новый радиус $r_2$ будет равен $r_2 = \frac{r_1}{k}$.

Найдем новую площадь $S_2$ с учетом нового радиуса:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi \left(\frac{r_1}{k}\right)^2 = \pi \frac{r_1^2}{k^2}$

Мы знаем, что $S_1 = \pi r_1^2$. Подставим это в выражение для $S_2$:

$S_2 = \frac{1}{k^2} (\pi r_1^2) = \frac{S_1}{k^2}$

Это означает, что новая площадь $S_2$ в $k^2$ раз меньше начальной площади $S_1$.

Ответ: Площадь уменьшится в $k^2$ раз.

3. раз, б) уменьшить в N раз.

370. Даны две концентрические окружности. Некоторая хорда окружности большего радиуса касается другой окружности и имеет длину 6 см. Найдите площадь кольца, ограниченного этими окружностями.

Дано:

Длина хорды большей окружности, касающейся меньшей окружности: $L = 6$ см.

Перевод в СИ:

$L = 6$ см $ = 0.06$ м.

Найти:

Площадь кольца, $S_{кольца}$.

Решение:

Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей окружности. Обе окружности концентрические, то есть имеют общий центр.

Площадь кольца (аннулуса), ограниченного этими двумя окружностями, находится как разность площадей большей и меньшей окружностей:

$S_{кольца} = S_{большей} - S_{меньшей} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$.

Хорда большей окружности, которая касается меньшей окружности, является касательной к меньшей окружности. Радиус, проведенный из центра к точке касания касательной, перпендикулярен касательной.

Пусть O — общий центр окружностей, A и B — концы хорды на большей окружности, а C — точка касания хорды с меньшей окружностью. Тогда OC является радиусом меньшей окружности ($r$), и OC перпендикулярно хорде AB. Также, радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, поэтому $AC = CB = L/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OCB (или OAC). Гипотенузой этого треугольника является радиус большей окружности OB ($R$), а катетами — радиус меньшей окружности OC ($r$) и половина хорды CB ($L/2$).

Применяем теорему Пифагора к треугольнику OCB:

$OB^2 = OC^2 + CB^2$

$R^2 = r^2 + (L/2)^2$

Из этого уравнения выразим разность квадратов радиусов:

$R^2 - r^2 = (L/2)^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади кольца:

$S_{кольца} = \pi (R^2 - r^2) = \pi (L/2)^2$.

По условию задачи, длина хорды $L = 6$ см.

Вычислим половину длины хорды:

$L/2 = 6 \text{ см} / 2 = 3 \text{ см}$.

Теперь подставим это значение в формулу для площади кольца:

$S_{кольца} = \pi (3 \text{ см})^2 = 9\pi \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь кольца составляет $9\pi \text{ см}^2$.

371. Две трубы диаметрами 6 дм и 8 дм требуется заменить одной трубой с той же пропускной способностью. Найдите диаметр такой трубы.

Дано:

Диаметр первой трубы $D_1 = 6$ дм

Диаметр второй трубы $D_2 = 8$ дм

Пропускная способность новой трубы равна сумме пропускных способностей двух старых труб.

Перевод в СИ:

$D_1 = 6 \text{ дм} = 6 \times 0.1 \text{ м} = 0.6 \text{ м}$

$D_2 = 8 \text{ дм} = 8 \times 0.1 \text{ м} = 0.8 \text{ м}$

Найти:

Диаметр новой трубы $D_3$

Решение

Предполагаем, что пропускная способность трубы пропорциональна площади ее поперечного сечения при постоянной скорости потока жидкости. Это означает, что суммарная площадь поперечных сечений двух исходных труб должна быть равна площади поперечного сечения новой трубы.

Площадь поперечного сечения трубы $A$ выражается формулой:

$A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$

где $D$ - диаметр трубы.

Суммарная пропускная способность двух старых труб должна быть равна пропускной способности новой трубы. Следовательно, сумма площадей поперечных сечений двух исходных труб должна быть равна площади поперечного сечения новой трубы:

$A_1 + A_2 = A_3$

Подставляем формулу для площади:

$\frac{\pi D_1^2}{4} + \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi D_3^2}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\frac{\pi}{4}$:

$D_1^2 + D_2^2 = D_3^2$

Выражаем $D_3$:

$D_3 = \sqrt{D_1^2 + D_2^2}$

Подставляем числовые значения $D_1$ и $D_2$ в метрах из системы СИ:

$D_3 = \sqrt{(0.6 \text{ м})^2 + (0.8 \text{ м})^2}$

$D_3 = \sqrt{0.36 \text{ м}^2 + 0.64 \text{ м}^2}$

$D_3 = \sqrt{1.00 \text{ м}^2}$

$D_3 = 1.0 \text{ м}$

Ответ:

Диаметр новой трубы равен $1.0$ м (или $10$ дм).

372. а) Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, длина которой равна 50,24 м.

б) Найдите длину окружности, ограничивающей круг, площадь которого равна 50,24 $м^2$.

а) Найти площадь круга, ограниченного окружностью, длина которой равна 50,24 м.

Дано:

Длина окружности $L = 50,24$ м.

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в системе СИ.

Найти:

Площадь круга $S$ – ?

Решение:

Для нахождения площади круга нам необходимо знать его радиус. Воспользуемся формулой длины окружности $L = 2 \pi R$, где $R$ - радиус круга.

Выразим радиус $R$ из этой формулы:

$R = \frac{L}{2 \pi}$

Принимая значение $\pi \approx 3,14$, подставим данные в формулу:

$R = \frac{50,24}{2 \cdot 3,14} = \frac{50,24}{6,28} = 8$ м.

Теперь, когда известен радиус, найдем площадь круга по формуле $S = \pi R^2$.

Подставим найденное значение радиуса $R = 8$ м:

$S = 3,14 \cdot (8)^2 = 3,14 \cdot 64 = 200,96$ м$^2$.

Ответ: $200,96$ м$^2$.

б) Найти длину окружности, ограничивающей круг, площадь которого равна 50,24 м².

Дано:

Площадь круга $S = 50,24$ м$^2$.

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в системе СИ.

Найти:

Длина окружности $L$ – ?

Решение:

Для нахождения длины окружности нам необходимо знать радиус круга. Воспользуемся формулой площади круга $S = \pi R^2$, где $R$ - радиус круга.

Выразим радиус $R$ из этой формулы:

$R^2 = \frac{S}{\pi}$

$R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Принимая значение $\pi \approx 3,14$, подставим данные в формулу:

$R = \sqrt{\frac{50,24}{3,14}} = \sqrt{16} = 4$ м.

Теперь, когда известен радиус, найдем длину окружности по формуле $L = 2 \pi R$.

Подставим найденное значение радиуса $R = 4$ м:

$L = 2 \cdot 3,14 \cdot 4 = 6,28 \cdot 4 = 25,12$ м.

Ответ: $25,12$ м.

373. а) Как можно разделить круг на три сектора, имеющих равные площади?

б) Окружность разделена двумя точками на две дуги, длины которых относятся как $5:7$. Найдите отношение площадей секторов, которые получатся, если к этим точкам провести радиусы окружности.

a) Как можно разделить круг на три сектора, имеющих равные площади?

Для того чтобы разделить круг на три сектора, имеющих равные площади, необходимо, чтобы центральные углы этих секторов были равны. Полный круг соответствует центральному углу в $360^\circ$. Если круг делится на три равные части, то каждый сектор будет иметь центральный угол, равный $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$. Следовательно, для разделения круга на три сектора с равными площадями нужно провести три радиуса таким образом, чтобы углы между каждыми двумя соседними радиусами составляли $120^\circ$.

Ответ:

Провести три радиуса из центра окружности таким образом, чтобы углы между соседними радиусами были равны $120^\circ$.

б) Окружность разделена двумя точками на две дуги, длины которых относятся как 5 : 7. Найдите отношение площадей секторов, которые получатся, если к этим точкам провести радиусы окружности.

Дано:

Отношение длин двух дуг окружности: $L_1 : L_2 = 5 : 7$.

Перевод данных в систему СИ:
Не требуется, так как задача оперирует безразмерными отношениями и углами в градусах.

Найти:

Отношение площадей соответствующих секторов: $S_1 : S_2$.

Решение:

Площадь сектора круга $S$ с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах) определяется формулой: $S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2$.

Длина дуги окружности $L$ с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах) определяется формулой: $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$.

Из этих формул следует, что площадь сектора и длина дуги прямо пропорциональны центральному углу, который их образует, при фиксированном радиусе $R$. То есть, $S \propto \alpha$ и $L \propto \alpha$.

Следовательно, отношение площадей двух секторов равно отношению их центральных углов: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\alpha_1}{\alpha_2}$.

А отношение центральных углов равно отношению длин соответствующих дуг: $\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{L_1}{L_2}$.

По условию задачи, отношение длин дуг равно $5:7$, то есть $\frac{L_1}{L_2} = \frac{5}{7}$.

Таким образом, отношение площадей секторов будет: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{5}{7}$.

Ответ:

Отношение площадей секторов равно $5:7$.

374. a) Длина дуги в $30^\circ$ некоторой окружности равна 3 м. Найдите площадь сектора, радиус которого равен радиусу этой окружности, а его центральный угол равен $50^\circ$.

б) Найдите площадь сектора, если радиус окружности равен 7 дм, а хорда, стягивающая дугу сектора, меньшую $180^\circ$, равна 8 дм.

Дано

a) Длина дуги $L_1 = 3$ м, соответствующая центральному углу $\alpha_1 = 30^\circ$.

Центральный угол сектора $\alpha_2 = 50^\circ$.

б) Радиус окружности $R = 7$ дм.

Длина хорды $h = 8$ дм.

Перевод в систему СИ

a) $L_1 = 3$ м

$\alpha_1 = 30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180}$ рад $= \frac{\pi}{6}$ рад

$\alpha_2 = 50^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}$ рад $= \frac{5\pi}{18}$ рад

б) $R = 7$ дм $= 0.7$ м

$h = 8$ дм $= 0.8$ м

Найти

a) Площадь сектора $S_2$.

б) Площадь сектора $S$.

Решение

a)

Для начала найдем радиус $R$ окружности, используя формулу длины дуги: $L = R \alpha_{рад}$, где $\alpha_{рад}$ - центральный угол в радианах.

$R = \frac{L_1}{\alpha_1}$

$R = \frac{3 \text{ м}}{\frac{\pi}{6} \text{ рад}} = \frac{18}{\pi}$ м.

Теперь найдем площадь сектора $S_2$ с центральным углом $\alpha_2 = 50^\circ$ и найденным радиусом $R$. Формула площади сектора: $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha_{рад}$.

$S_2 = \frac{1}{2} R^2 \alpha_2$

$S_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{18}{\pi} \text{ м}\right)^2 \left(\frac{5\pi}{18} \text{ рад}\right)$

$S_2 = \frac{1}{2} \frac{18^2}{\pi^2} \frac{5\pi}{18}$

$S_2 = \frac{1}{2} \frac{18 \cdot 5}{\pi}$

$S_2 = \frac{90}{2\pi} = \frac{45}{\pi}$ м$^2$.

Ответ: $S_2 = \frac{45}{\pi}$ м$^2$. (Приблизительно $14.32$ м$^2$)

б)

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами окружности и хордой $h$. Пусть центральный угол сектора равен $\theta$. Длина хорды $h$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $\theta$ формулой: $h = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

Подставим известные значения:

$8 \text{ дм} = 2 \cdot 7 \text{ дм} \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

$8 = 14 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

Найдем угол $\frac{\theta}{2}$ в радианах:

$\frac{\theta}{2} = \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$

Следовательно, $\theta = 2 \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$ рад.

Теперь найдем площадь сектора $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2} R^2 \theta$, где $\theta$ - центральный угол в радианах.

$S = \frac{1}{2} (7 \text{ дм})^2 \cdot 2 \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 49 \cdot 2 \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$

$S = 49 \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$ дм$^2$.

Ответ: $S = 49 \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$ дм$^2$. (Приблизительно $29.74$ дм$^2$)