Номер 374, страница 167 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

374. a) Длина дуги в $30^\circ$ некоторой окружности равна 3 м. Найдите площадь сектора, радиус которого равен радиусу этой окружности, а его центральный угол равен $50^\circ$.

б) Найдите площадь сектора, если радиус окружности равен 7 дм, а хорда, стягивающая дугу сектора, меньшую $180^\circ$, равна 8 дм.

Дано

a) Длина дуги $L_1 = 3$ м, соответствующая центральному углу $\alpha_1 = 30^\circ$.

Центральный угол сектора $\alpha_2 = 50^\circ$.

б) Радиус окружности $R = 7$ дм.

Длина хорды $h = 8$ дм.

Перевод в систему СИ

a) $L_1 = 3$ м

$\alpha_1 = 30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180}$ рад $= \frac{\pi}{6}$ рад

$\alpha_2 = 50^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}$ рад $= \frac{5\pi}{18}$ рад

б) $R = 7$ дм $= 0.7$ м

$h = 8$ дм $= 0.8$ м

Найти

a) Площадь сектора $S_2$.

б) Площадь сектора $S$.

Решение

a)

Для начала найдем радиус $R$ окружности, используя формулу длины дуги: $L = R \alpha_{рад}$, где $\alpha_{рад}$ - центральный угол в радианах.

$R = \frac{L_1}{\alpha_1}$

$R = \frac{3 \text{ м}}{\frac{\pi}{6} \text{ рад}} = \frac{18}{\pi}$ м.

Теперь найдем площадь сектора $S_2$ с центральным углом $\alpha_2 = 50^\circ$ и найденным радиусом $R$. Формула площади сектора: $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha_{рад}$.

$S_2 = \frac{1}{2} R^2 \alpha_2$

$S_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{18}{\pi} \text{ м}\right)^2 \left(\frac{5\pi}{18} \text{ рад}\right)$

$S_2 = \frac{1}{2} \frac{18^2}{\pi^2} \frac{5\pi}{18}$

$S_2 = \frac{1}{2} \frac{18 \cdot 5}{\pi}$

$S_2 = \frac{90}{2\pi} = \frac{45}{\pi}$ м$^2$.

Ответ: $S_2 = \frac{45}{\pi}$ м$^2$. (Приблизительно $14.32$ м$^2$)

б)

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами окружности и хордой $h$. Пусть центральный угол сектора равен $\theta$. Длина хорды $h$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $\theta$ формулой: $h = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

Подставим известные значения:

$8 \text{ дм} = 2 \cdot 7 \text{ дм} \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

$8 = 14 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

Найдем угол $\frac{\theta}{2}$ в радианах:

$\frac{\theta}{2} = \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$

Следовательно, $\theta = 2 \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$ рад.

Теперь найдем площадь сектора $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2} R^2 \theta$, где $\theta$ - центральный угол в радианах.

$S = \frac{1}{2} (7 \text{ дм})^2 \cdot 2 \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 49 \cdot 2 \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$

$S = 49 \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$ дм$^2$.

Ответ: $S = 49 \arcsin\left(\frac{4}{7}\right)$ дм$^2$. (Приблизительно $29.74$ дм$^2$)