Номер 380, страница 168 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

380. В окружности по разные стороны от центра проведены две параллельные хорды длиной 6 см и 8 см, расстояние между которыми равно 7 см. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Дано

Длина первой хорды: $l_1 = 6 \text{ см}$

Длина второй хорды: $l_2 = 8 \text{ см}$

Расстояние между хордами: $d = 7 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$l_1 = 0.06 \text{ м}$

$l_2 = 0.08 \text{ м}$

$d = 0.07 \text{ м}$

Найти:

Площадь круга: $S$

Решение

Пусть $R$ — радиус окружности. Пусть $h_1$ — расстояние от центра окружности до хорды длиной $l_1$, и $h_2$ — расстояние от центра окружности до хорды длиной $l_2$.

Поскольку хорды расположены по разные стороны от центра и параллельны, расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до каждой хорды: $d = h_1 + h_2$.

Таким образом:

$h_1 + h_2 = 7 \text{ см}$

Если из центра окружности опустить перпендикуляр на хорду, он разделит хорду пополам. Используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных радиусом, половиной хорды и расстоянием от центра до хорды, получаем следующие уравнения:

Для хорды длиной $l_1 = 6 \text{ см}$:

$\left(\frac{l_1}{2}\right)^2 + h_1^2 = R^2$

$\left(\frac{6}{2}\right)^2 + h_1^2 = R^2$

$3^2 + h_1^2 = R^2$

$9 + h_1^2 = R^2 \quad (1)$

Для хорды длиной $l_2 = 8 \text{ см}$:

$\left(\frac{l_2}{2}\right)^2 + h_2^2 = R^2$

$\left(\frac{8}{2}\right)^2 + h_2^2 = R^2$

$4^2 + h_2^2 = R^2$

$16 + h_2^2 = R^2 \quad (2)$

Из уравнения $h_1 + h_2 = 7$ выразим $h_2$: $h_2 = 7 - h_1$.

Подставим это выражение для $h_2$ в уравнение $(2)$:

$16 + (7 - h_1)^2 = R^2$

$16 + (49 - 14h_1 + h_1^2) = R^2$

$65 - 14h_1 + h_1^2 = R^2 \quad (3)$

Теперь приравняем выражения для $R^2$ из уравнений $(1)$ и $(3)$:

$9 + h_1^2 = 65 - 14h_1 + h_1^2$

Вычтем $h_1^2$ из обеих частей уравнения:

$9 = 65 - 14h_1$

Перенесем члены с $h_1$ в одну сторону, а константы в другую:

$14h_1 = 65 - 9$

$14h_1 = 56$

$h_1 = \frac{56}{14}$

$h_1 = 4 \text{ см}$

Теперь найдем значение $h_2$:

$h_2 = 7 - h_1 = 7 - 4 = 3 \text{ см}$

Используем значение $h_1$ (или $h_2$) для нахождения $R^2$ из уравнения $(1)$:

$R^2 = 9 + h_1^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \text{ см}^2$

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

$S = \pi \times 25$

$S = 25\pi \text{ см}^2$

Ответ: $25\pi \text{ см}^2$