Номер 382, страница 168 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

382. Найдите площадь закрашенной фигуры, если:

a) $ABCDEF$ – правильный шестиугольник со стороной $a$ и центром $O$ (рисунок 203, a), $EOC$ и $FOB$ – дуги окружностей с центрами в точках $D$ и $A$ соответственно;

б) $ABCD$ – квадрат со стороной $b$, $DKN$ и $CMN$ – равные секторы (рисунок 203, б).

Рисунок 203

а)

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a$ и центром $O$.

$EOC$ и $FOB$ — дуги окружностей с центрами в точках $D$ и $A$ соответственно.

Найти:

Площадь закрашенной фигуры.

Решение:

Площадь правильного шестиугольника $ABCDEF$ состоит из площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Каждый из этих треугольников (например, $\triangle OAB$) имеет сторону $a$.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна $S_{\Delta} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

Следовательно, площадь всего шестиугольника $S_{шестиугольника} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Закрашенная фигура на рисунке представляет собой площадь шестиугольника за вычетом незакрашенной центральной области.

Незакрашенная центральная область образована дугами $EOC$ и $FOB$.

Дуга $EOC$ имеет центр в точке $D$. Поскольку $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, все его стороны равны $a$. Также, расстояние от центра шестиугольника $O$ до любой его вершины равно $a$, то есть $OA=OB=OC=OD=OE=OF=a$.

Таким образом, точки $E$, $O$, $C$ лежат на окружности с центром $D$ и радиусом $a$ (так как $DE=DO=DC=a$).

Аналогично, точки $F$, $O$, $B$ лежат на окружности с центром $A$ и радиусом $a$ (так как $AF=AO=AB=a$).

Незакрашенная центральная область (показанная на рисунке как форма "глаза") состоит из четырех круговых сегментов, образованных хордами и дугами, проходящими через центр $O$.

Рассмотрим сегмент, образованный дугой $EO$ и хордой $EO$. Он является частью круга с центром $D$ и радиусом $a$. Треугольник $EDO$ является равносторонним (стороны $DE=DO=EO=a$), поэтому центральный угол сектора $\angle EDO = 60^\circ$.

Площадь сектора $EDO$ равна $S_{сектора\_EDO} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi a^2 = \frac{1}{6}\pi a^2$.

Площадь равностороннего треугольника $EDO$ равна $S_{\triangle EDO} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

Площадь кругового сегмента, образованного дугой $EO$ и хордой $EO$, равна $S_{сегмента\_EO} = S_{сектора\_EDO} - S_{\triangle EDO} = \frac{1}{6}\pi a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

Незакрашенная центральная область состоит из четырех таких одинаковых сегментов:
сегмент от дуги $EO$ (центр $D$)
сегмент от дуги $CO$ (центр $D$)
сегмент от дуги $FO$ (центр $A$)
сегмент от дуги $BO$ (центр $A$)

Суммарная площадь незакрашенной области $S_{незакрашенной} = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\pi a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\right) = \frac{4\pi a^2}{6} - \frac{4\sqrt{3}a^2}{4} = \frac{2}{3}\pi a^2 - \sqrt{3}a^2$.

Площадь закрашенной фигуры $S_{закрашенной} = S_{шестиугольника} - S_{незакрашенной}$.

$S_{закрашенной} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 - \left(\frac{2}{3}\pi a^2 - \sqrt{3}a^2\right) = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} - \frac{2}{3}\pi\right)a^2$.

Для удобства приведем члены с $\sqrt{3}$ к общему знаменателю: $\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $S_{закрашенной} = \left(\frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3}\right)a^2$.

Ответ: $\left(\frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3}\right)a^2$

б)

Дано:

Квадрат $ABCD$ со стороной $b$.

$DKN$ и $CMN$ — равные секторы.

(На основе рисунка, точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон квадрата $AD, AB, BC, CD$ соответственно).

Найти:

Площадь закрашенной фигуры.

Решение:

Площадь квадрата $ABCD$ равна $S_{квадрата} = b^2$.

Согласно рисунку, $DKN$ и $CMN$ являются незакрашенными круговыми секторами.

Сектор $DKN$ имеет центр в вершине $D$. Радиус этого сектора $R$ равен $DK = DN$. Поскольку точки $K$ и $N$ являются серединами сторон $AD$ и $CD$ соответственно, то $DK = DN = \frac{b}{2}$.

Угол сектора $DKN$ равен углу квадрата при вершине $D$, то есть $90^\circ$.

Площадь сектора $DKN$ равна $S_{DKN} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{1}{4}\pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\pi \frac{b^2}{4} = \frac{\pi b^2}{16}$.

Аналогично, сектор $CMN$ имеет центр в вершине $C$. Радиус этого сектора $R$ равен $CM = CN$. Так как точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно, то $CM = CN = \frac{b}{2}$.

Угол сектора $CMN$ равен углу квадрата при вершине $C$, то есть $90^\circ$.

Площадь сектора $CMN$ равна $S_{CMN} = \frac{1}{4}\pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{16}$.

Площадь закрашенной фигуры $S_{закрашенной}$ находится как разность площади квадрата и суммарной площади двух незакрашенных секторов.

$S_{закрашенной} = S_{квадрата} - S_{DKN} - S_{CMN} = b^2 - \frac{\pi b^2}{16} - \frac{\pi b^2}{16} = b^2 - \frac{2\pi b^2}{16} = b^2 - \frac{\pi b^2}{8}$.

Вынесем $b^2$ за скобки: $S_{закрашенной} = b^2\left(1 - \frac{\pi}{8}\right)$.

Ответ: $b^2\left(1 - \frac{\pi}{8}\right)$