Страница 168 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

375. Угол между касательной к окружности и ее хордой, проведенной в точку касания, равен 60°. Найдите площадь сектора, содержащего данную хорду, если длина этой хорды равна 6 м.

Дано:

Угол между касательной к окружности и ее хордой: $\alpha = 60^\circ$

Длина хорды: $l = 6 \text{ м}$

Найти:

Площадь сектора $S_{сектора}$

Решение:

По свойству угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания, градусная мера дуги, заключенной между ними, равна удвоенному значению этого угла. Следовательно, градусная мера дуги, стягиваемой данной хордой, составляет:

$\text{Дуга} = 2 \cdot \alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Центральный угол $\theta$, соответствующий этой дуге (и являющийся углом сектора), равен градусной мере дуги:

$\theta = 120^\circ$

Далее, используем формулу для длины хорды $l$ через радиус $R$ окружности и центральный угол $\theta$:

$l = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Подставим известные значения:

$6 = 2R \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right)$

$6 = 2R \sin(60^\circ)$

Известно, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение:

$6 = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$6 = R\sqrt{3}$

Выразим радиус $R$:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ м}$

Теперь найдем площадь сектора. Формула для площади сектора с центральным углом $\theta$ (в градусах) и радиусом $R$:

$S_{сектора} = \frac{\theta}{360^\circ} \pi R^2$

Подставим значения $\theta = 120^\circ$ и $R = 2\sqrt{3}$:

$S_{сектора} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi (2\sqrt{3})^2$

$S_{сектора} = \frac{1}{3} \pi (4 \cdot 3)$

$S_{сектора} = \frac{1}{3} \pi \cdot 12$

$S_{сектора} = 4\pi \text{ м}^2$

Ответ:

$4\pi \text{ м}^2$

376. Найдите площадь сектора, если его радиус 4 см, а радианная мера дуги равна:

а) $ \frac{\pi}{6} $;

б) 1,2 рад.

Дано:
Радиус сектора $r = 4$ см

Перевод в СИ:
$r = 4$ см $= 0.04$ м

Найти:
Площадь сектора $S$

Решение:
Площадь сектора круга, если радианная мера дуги известна, вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} r^2 \theta$, где $r$ – радиус, $\theta$ – радианная мера центрального угла (или дуги).

a) Дано:
Радианная мера дуги $\theta = \frac{\pi}{6}$ рад
Перевод в СИ:
$\theta = \frac{\pi}{6}$ рад (уже в СИ)
Найти:
Площадь сектора $S_a$
Решение:
Используем формулу $S = \frac{1}{2} r^2 \theta$.
$S_a = \frac{1}{2} \cdot (4 \text{ см})^2 \cdot \frac{\pi}{6} \text{ рад}$
$S_a = \frac{1}{2} \cdot 16 \text{ см}^2 \cdot \frac{\pi}{6}$
$S_a = 8 \cdot \frac{\pi}{6} \text{ см}^2$
$S_a = \frac{8\pi}{6} \text{ см}^2$
$S_a = \frac{4\pi}{3} \text{ см}^2$
Ответ: $\frac{4\pi}{3}$ см$^2$

б) Дано:
Радианная мера дуги $\theta = 1.2$ рад
Перевод в СИ:
$\theta = 1.2$ рад (уже в СИ)
Найти:
Площадь сектора $S_b$
Решение:
Используем формулу $S = \frac{1}{2} r^2 \theta$.
$S_b = \frac{1}{2} \cdot (4 \text{ см})^2 \cdot 1.2 \text{ рад}$
$S_b = \frac{1}{2} \cdot 16 \text{ см}^2 \cdot 1.2$
$S_b = 8 \text{ см}^2 \cdot 1.2$
$S_b = 9.6 \text{ см}^2$
Ответ: $9.6$ см$^2$

377. В круге радиуса $R$ проведены две параллельные хорды, каждая из которых стягивает дугу в $\frac{2\pi}{3}$ радиан. Найдите площадь части круга, которая находится между этими хордами.

Дано:

Радиус круга: $R$

Две параллельные хорды, каждая из которых стягивает дугу: $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ радиан

Найти:

Площадь части круга, которая находится между этими хордами.

Решение:

Поскольку две хорды параллельны и каждая стягивает одинаковую дугу (следовательно, имеют одинаковую длину), они должны быть расположены симметрично относительно центра круга. Это означает, что они находятся на одинаковом расстоянии от центра по разные стороны от него.

1. Найдем расстояние $h$ от центра круга до одной из хорд. Для хорды, стягивающей центральный угол $\alpha$, расстояние от центра до хорды определяется по формуле: $h = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Подставим значение $\alpha = \frac{2\pi}{3}$:

$h = R \cos\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = R \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Так как $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:

$h = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$

2. Искомая площадь части круга между хордами может быть найдена как разность между площадью всего круга и суммой площадей двух круговых сегментов, отсекаемых этими хордами (каждый сегмент находится "снаружи" от искомой области).

3. Площадь всего круга $S_{circle}$ вычисляется по формуле: $S_{circle} = \pi R^2$.

4. Площадь одного кругового сегмента $S_{segment}$ вычисляется по формуле: $S_{segment} = \frac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha)$.

Подставим значение $\alpha = \frac{2\pi}{3}$:

Для $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ имеем: $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда площадь одного сегмента равна:

$S_{segment} = \frac{1}{2}R^2\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

5. Площадь части круга между двумя хордами $S_{between\_chords}$ равна площади круга минус две площади сегментов:

$S_{between\_chords} = S_{circle} - 2 \cdot S_{segment}$

$S_{between\_chords} = \pi R^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}R^2\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$S_{between\_chords} = \pi R^2 - R^2\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$S_{between\_chords} = \pi R^2 - \frac{2\pi}{3}R^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}R^2$

Вынесем $R^2$ за скобки:

$S_{between\_chords} = R^2\left(\pi - \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Приведем члены с $\pi$ к общему знаменателю:

$S_{between\_chords} = R^2\left(\frac{3\pi - 2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$S_{between\_chords} = R^2\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Ответ:

$R^2\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

378. Окружность длиннее своего диаметра на 10,5 см. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Дано:

Разность между длиной окружности и ее диаметром: $C - d = 10.5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$C - d = 10.5 \text{ см} = 0.105 \text{ м}$

Найти:

Площадь круга $S$.

Решение:

Обозначим длину окружности как $C$ и ее диаметр как $d$. Известно, что длина окружности связана с диаметром формулой $C = \pi d$.

Согласно условию задачи, окружность длиннее своего диаметра на $10.5 \text{ см}$, что можно записать как:

$C - d = 10.5 \text{ см}$

Подставим выражение для $C$ в это уравнение:

$\pi d - d = 10.5$

Вынесем $d$ за скобки:

$d(\pi - 1) = 10.5$

Теперь найдем диаметр $d$:

$d = \frac{10.5}{\pi - 1}$

Площадь круга $S$ находится по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ - радиус круга. Поскольку $d = 2r$, то $r = \frac{d}{2}$.

Подставим $r$ в формулу для площади:

$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Теперь подставим выражение для $d$ в формулу площади:

$S = \frac{\pi}{4} \left( \frac{10.5}{\pi - 1} \right)^2$

$S = \frac{\pi}{4} \frac{(10.5)^2}{(\pi - 1)^2}$

$S = \frac{110.25\pi}{4(\pi - 1)^2}$

Вычислим значение, используя $\pi \approx 3.14159265$:

$S = \frac{110.25 \times 3.14159265}{4 \times (3.14159265 - 1)^2}$

$S = \frac{346.360592}{4 \times (2.14159265)^2}$

$S = \frac{346.360592}{4 \times 4.58639535}$

$S = \frac{346.360592}{18.3455814}$

$S \approx 18.8797 \text{ см}^2$

Округлим до двух знаков после запятой:

$S \approx 18.88 \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь круга составляет примерно $18.88 \text{ см}^2$.

379. Известно, что сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, на 4 см больше стороны правильного четырехугольника, вписанного в нее. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью.

Дано:

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность: $a_3$
Сторона правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в ту же окружность: $a_4$
Разность сторон: $a_3 - a_4 = 4$ см

Перевод в СИ:

4 см = 0.04 м

Найти:

Площадь круга, ограниченного окружностью: $S_{круга}$

Решение:

Пусть $R$ — радиус окружности. Сторона правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, выражается формулой: $a_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Для правильного треугольника ($n=3$):
$a_3 = 2R \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

Для правильного четырехугольника (квадрата, $n=4$):
$a_4 = 2R \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$.

По условию задачи, сторона правильного треугольника на 4 см больше стороны правильного четырехугольника:
$a_3 = a_4 + 4$.

Подставим выражения для $a_3$ и $a_4$ через $R$ в данное уравнение:
$R\sqrt{3} = R\sqrt{2} + 4$.

Перенесем слагаемые с $R$ в левую часть и вынесем $R$ за скобки:
$R\sqrt{3} - R\sqrt{2} = 4$
$R(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 4$.

Выразим $R$:
$R = \frac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$:
$R = \frac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$.
Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$R = \frac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = \frac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{1} = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ см.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$.
Подставим найденное значение $R$:
$S_{круга} = \pi (4(\sqrt{3} + \sqrt{2}))^2$.
$S_{круга} = \pi \cdot 16 (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.
Раскроем квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$S_{круга} = 16\pi ((\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2)$.
$S_{круга} = 16\pi (3 + 2\sqrt{6} + 2)$.
$S_{круга} = 16\pi (5 + 2\sqrt{6})$.

Ответ:

Площадь круга равна $16\pi (5 + 2\sqrt{6})$ см$^2$.

380. В окружности по разные стороны от центра проведены две параллельные хорды длиной 6 см и 8 см, расстояние между которыми равно 7 см. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Дано

Длина первой хорды: $l_1 = 6 \text{ см}$

Длина второй хорды: $l_2 = 8 \text{ см}$

Расстояние между хордами: $d = 7 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$l_1 = 0.06 \text{ м}$

$l_2 = 0.08 \text{ м}$

$d = 0.07 \text{ м}$

Найти:

Площадь круга: $S$

Решение

Пусть $R$ — радиус окружности. Пусть $h_1$ — расстояние от центра окружности до хорды длиной $l_1$, и $h_2$ — расстояние от центра окружности до хорды длиной $l_2$.

Поскольку хорды расположены по разные стороны от центра и параллельны, расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до каждой хорды: $d = h_1 + h_2$.

Таким образом:

$h_1 + h_2 = 7 \text{ см}$

Если из центра окружности опустить перпендикуляр на хорду, он разделит хорду пополам. Используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных радиусом, половиной хорды и расстоянием от центра до хорды, получаем следующие уравнения:

Для хорды длиной $l_1 = 6 \text{ см}$:

$\left(\frac{l_1}{2}\right)^2 + h_1^2 = R^2$

$\left(\frac{6}{2}\right)^2 + h_1^2 = R^2$

$3^2 + h_1^2 = R^2$

$9 + h_1^2 = R^2 \quad (1)$

Для хорды длиной $l_2 = 8 \text{ см}$:

$\left(\frac{l_2}{2}\right)^2 + h_2^2 = R^2$

$\left(\frac{8}{2}\right)^2 + h_2^2 = R^2$

$4^2 + h_2^2 = R^2$

$16 + h_2^2 = R^2 \quad (2)$

Из уравнения $h_1 + h_2 = 7$ выразим $h_2$: $h_2 = 7 - h_1$.

Подставим это выражение для $h_2$ в уравнение $(2)$:

$16 + (7 - h_1)^2 = R^2$

$16 + (49 - 14h_1 + h_1^2) = R^2$

$65 - 14h_1 + h_1^2 = R^2 \quad (3)$

Теперь приравняем выражения для $R^2$ из уравнений $(1)$ и $(3)$:

$9 + h_1^2 = 65 - 14h_1 + h_1^2$

Вычтем $h_1^2$ из обеих частей уравнения:

$9 = 65 - 14h_1$

Перенесем члены с $h_1$ в одну сторону, а константы в другую:

$14h_1 = 65 - 9$

$14h_1 = 56$

$h_1 = \frac{56}{14}$

$h_1 = 4 \text{ см}$

Теперь найдем значение $h_2$:

$h_2 = 7 - h_1 = 7 - 4 = 3 \text{ см}$

Используем значение $h_1$ (или $h_2$) для нахождения $R^2$ из уравнения $(1)$:

$R^2 = 9 + h_1^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \text{ см}^2$

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

$S = \pi \times 25$

$S = 25\pi \text{ см}^2$

Ответ: $25\pi \text{ см}^2$

381. Вычислите площадь круга, описанного около треугольника, если:

a) он равнобедренный, с основанием 12 см и боковой стороной 10 см;

б) сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы – $40^\circ$ и $80^\circ$.

a) он равнобедренный, с основанием 12 см и боковой стороной 10 см

Дано:

треугольник abc - равнобедренный

основание $b = 12 \text{ см}$

боковая сторона $a = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$b = 0.12 \text{ м}$

$a = 0.10 \text{ м}$

Найти:

площадь описанного круга $S_{кр}$

Решение:

обозначим стороны равнобедренного треугольника как $a$, $c$ (равные боковые стороны) и $b$ (основание). в данном случае $a = 10 \text{ см}$, $c = 10 \text{ см}$, $b = 12 \text{ см}$.

площадь круга, описанного около треугольника, вычисляется по формуле $S_{кр} = \pi R^2$, где $R$ — радиус описанной окружности.

радиус описанной окружности $R$ для треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S_{тр}$ вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S_{тр}}$.

найдем высоту $h$ равнобедренного треугольника, опущенную на основание $b$. она делит основание пополам. по теореме пифагора:

$h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2$

$h^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2 = 10^2$

$h^2 + 6^2 = 10^2$

$h^2 + 36 = 100$

$h^2 = 100 - 36$

$h^2 = 64$

$h = 8 \text{ см}$

теперь найдем площадь треугольника $S_{тр}$:

$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8$

$S_{тр} = 48 \text{ см}^2$

теперь найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48}$

$R = \frac{1200}{192}$

$R = 6.25 \text{ см}$

наконец, вычислим площадь описанного круга $S_{кр}$:

$S_{кр} = \pi R^2$

$S_{кр} = \pi (6.25)^2$

$S_{кр} = 39.0625\pi \text{ см}^2$

Ответ: $39.0625\pi \text{ см}^2$

б) сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы – 40° и 80°

Дано:

сторона треугольника $c = 5 \text{ см}$

прилежащие углы $\alpha = 40^\circ$, $\beta = 80^\circ$

Перевод в СИ:

$c = 0.05 \text{ м}$

$\alpha = 40^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{9} \text{ рад}$

$\beta = 80^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{4\pi}{9} \text{ рад}$

Найти:

площадь описанного круга $S_{кр}$

Решение:

площадь круга, описанного около треугольника, вычисляется по формуле $S_{кр} = \pi R^2$, где $R$ — радиус описанной окружности.

для нахождения радиуса $R$ воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

сначала найдем третий угол $\gamma$ треугольника, используя свойство суммы углов треугольника:

$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

$\gamma = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ)$

$\gamma = 180^\circ - 120^\circ$

$\gamma = 60^\circ$

теперь, используя теорему синусов, найдем радиус $R$:

$2R = \frac{c}{\sin \gamma}$

$2R = \frac{5}{\sin 60^\circ}$

мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2R = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$2R = \frac{10}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{5}{\sqrt{3}} \text{ см}$

наконец, вычислим площадь описанного круга $S_{кр}$:

$S_{кр} = \pi R^2$

$S_{кр} = \pi \left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2$

$S_{кр} = \pi \frac{25}{3} \text{ см}^2$

Ответ: $\frac{25\pi}{3} \text{ см}^2$

382. Найдите площадь закрашенной фигуры, если:

a) $ABCDEF$ – правильный шестиугольник со стороной $a$ и центром $O$ (рисунок 203, a), $EOC$ и $FOB$ – дуги окружностей с центрами в точках $D$ и $A$ соответственно;

б) $ABCD$ – квадрат со стороной $b$, $DKN$ и $CMN$ – равные секторы (рисунок 203, б).

Рисунок 203

а)

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a$ и центром $O$.

$EOC$ и $FOB$ — дуги окружностей с центрами в точках $D$ и $A$ соответственно.

Найти:

Площадь закрашенной фигуры.

Решение:

Площадь правильного шестиугольника $ABCDEF$ состоит из площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Каждый из этих треугольников (например, $\triangle OAB$) имеет сторону $a$.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна $S_{\Delta} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

Следовательно, площадь всего шестиугольника $S_{шестиугольника} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Закрашенная фигура на рисунке представляет собой площадь шестиугольника за вычетом незакрашенной центральной области.

Незакрашенная центральная область образована дугами $EOC$ и $FOB$.

Дуга $EOC$ имеет центр в точке $D$. Поскольку $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, все его стороны равны $a$. Также, расстояние от центра шестиугольника $O$ до любой его вершины равно $a$, то есть $OA=OB=OC=OD=OE=OF=a$.

Таким образом, точки $E$, $O$, $C$ лежат на окружности с центром $D$ и радиусом $a$ (так как $DE=DO=DC=a$).

Аналогично, точки $F$, $O$, $B$ лежат на окружности с центром $A$ и радиусом $a$ (так как $AF=AO=AB=a$).

Незакрашенная центральная область (показанная на рисунке как форма "глаза") состоит из четырех круговых сегментов, образованных хордами и дугами, проходящими через центр $O$.

Рассмотрим сегмент, образованный дугой $EO$ и хордой $EO$. Он является частью круга с центром $D$ и радиусом $a$. Треугольник $EDO$ является равносторонним (стороны $DE=DO=EO=a$), поэтому центральный угол сектора $\angle EDO = 60^\circ$.

Площадь сектора $EDO$ равна $S_{сектора\_EDO} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi a^2 = \frac{1}{6}\pi a^2$.

Площадь равностороннего треугольника $EDO$ равна $S_{\triangle EDO} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

Площадь кругового сегмента, образованного дугой $EO$ и хордой $EO$, равна $S_{сегмента\_EO} = S_{сектора\_EDO} - S_{\triangle EDO} = \frac{1}{6}\pi a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

Незакрашенная центральная область состоит из четырех таких одинаковых сегментов:
сегмент от дуги $EO$ (центр $D$)
сегмент от дуги $CO$ (центр $D$)
сегмент от дуги $FO$ (центр $A$)
сегмент от дуги $BO$ (центр $A$)

Суммарная площадь незакрашенной области $S_{незакрашенной} = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\pi a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\right) = \frac{4\pi a^2}{6} - \frac{4\sqrt{3}a^2}{4} = \frac{2}{3}\pi a^2 - \sqrt{3}a^2$.

Площадь закрашенной фигуры $S_{закрашенной} = S_{шестиугольника} - S_{незакрашенной}$.

$S_{закрашенной} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 - \left(\frac{2}{3}\pi a^2 - \sqrt{3}a^2\right) = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} - \frac{2}{3}\pi\right)a^2$.

Для удобства приведем члены с $\sqrt{3}$ к общему знаменателю: $\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $S_{закрашенной} = \left(\frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3}\right)a^2$.

Ответ: $\left(\frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3}\right)a^2$

б)

Дано:

Квадрат $ABCD$ со стороной $b$.

$DKN$ и $CMN$ — равные секторы.

(На основе рисунка, точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон квадрата $AD, AB, BC, CD$ соответственно).

Найти:

Площадь закрашенной фигуры.

Решение:

Площадь квадрата $ABCD$ равна $S_{квадрата} = b^2$.

Согласно рисунку, $DKN$ и $CMN$ являются незакрашенными круговыми секторами.

Сектор $DKN$ имеет центр в вершине $D$. Радиус этого сектора $R$ равен $DK = DN$. Поскольку точки $K$ и $N$ являются серединами сторон $AD$ и $CD$ соответственно, то $DK = DN = \frac{b}{2}$.

Угол сектора $DKN$ равен углу квадрата при вершине $D$, то есть $90^\circ$.

Площадь сектора $DKN$ равна $S_{DKN} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{1}{4}\pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\pi \frac{b^2}{4} = \frac{\pi b^2}{16}$.

Аналогично, сектор $CMN$ имеет центр в вершине $C$. Радиус этого сектора $R$ равен $CM = CN$. Так как точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно, то $CM = CN = \frac{b}{2}$.

Угол сектора $CMN$ равен углу квадрата при вершине $C$, то есть $90^\circ$.

Площадь сектора $CMN$ равна $S_{CMN} = \frac{1}{4}\pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{16}$.

Площадь закрашенной фигуры $S_{закрашенной}$ находится как разность площади квадрата и суммарной площади двух незакрашенных секторов.

$S_{закрашенной} = S_{квадрата} - S_{DKN} - S_{CMN} = b^2 - \frac{\pi b^2}{16} - \frac{\pi b^2}{16} = b^2 - \frac{2\pi b^2}{16} = b^2 - \frac{\pi b^2}{8}$.

Вынесем $b^2$ за скобки: $S_{закрашенной} = b^2\left(1 - \frac{\pi}{8}\right)$.

Ответ: $b^2\left(1 - \frac{\pi}{8}\right)$