Страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называется длиной окружности?

2. Выведите формулу длины окружности радиуса $R$.

3. Выведите формулу длины дуги окружности радиуса $R$.

1. Что называется длиной окружности?

Длиной окружности называется численное значение, равное периметру круга, то есть полная протяжённость линии, образующей границу круга. Она представляет собой расстояние, которое необходимо пройти, чтобы совершить полный оборот по окружности, возвращаясь в исходную точку.

Ответ:

2. Выведите формулу длины окружности радиуса R.

Длина окружности ($L$) радиуса $R$ выражается формулой, которая связывает радиус окружности с математической константой $\pi$ (пи). Число $\pi$ является отношением длины окружности к её диаметру. Поскольку диаметр $D$ окружности равен удвоенному радиусу ($D = 2R$), формула для длины окружности выглядит следующим образом:

$L = 2\pi R$

Ответ:

3. Выведите формулу длины дуги окружности радиуса R.

Длина дуги окружности ($l$) радиуса $R$ зависит от величины центрального угла $\alpha$, который стягивает данную дугу. Полная длина окружности соответствует центральному углу в $360^\circ$ или $2\pi$ радианам.

Если центральный угол $\alpha$ задан в радианах, длина дуги вычисляется как произведение радиуса на этот угол:

$l = R\alpha$

Если центральный угол $\alpha$ задан в градусах, то длина дуги является пропорциональной частью от всей длины окружности:

$l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$

или, упрощая:

$l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

Ответ:

350. Как изменится длина окружности, если ее радиус:

а) увеличить в 2 раза;

б) уменьшить в 3 раза?

Дано:

Формула длины окружности: $C = 2 \pi r$, где $C$ - длина окружности, $r$ - радиус.

Найти:

Как изменится длина окружности, если ее радиус:

а) увеличить в 2 раза;

б) уменьшить в 3 раза.

Решение:

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r_0$, а первоначальная длина окружности $C_0$.

Тогда $C_0 = 2 \pi r_0$.

а) увеличить в 2 раза

Если радиус увеличить в 2 раза, новый радиус $r_1$ будет равен $2 r_0$.

Новая длина окружности $C_1$ будет вычисляться по формуле: $C_1 = 2 \pi r_1$.

Подставим значение $r_1$ в формулу для $C_1$:

$C_1 = 2 \pi (2 r_0) = 4 \pi r_0$.

Сравним новую длину окружности с первоначальной, найдя их отношение:

$\frac{C_1}{C_0} = \frac{4 \pi r_0}{2 \pi r_0} = 2$.

Это означает, что длина окружности увеличится в 2 раза.

Ответ: длина окружности увеличится в 2 раза.

б) уменьшить в 3 раза

Если радиус уменьшить в 3 раза, новый радиус $r_2$ будет равен $\frac{r_0}{3}$.

Новая длина окружности $C_2$ будет вычисляться по формуле: $C_2 = 2 \pi r_2$.

Подставим значение $r_2$ в формулу для $C_2$:

$C_2 = 2 \pi \left(\frac{r_0}{3}\right) = \frac{2 \pi r_0}{3}$.

Сравним новую длину окружности с первоначальной, найдя их отношение:

$\frac{C_2}{C_0} = \frac{\frac{2 \pi r_0}{3}}{2 \pi r_0} = \frac{1}{3}$.

Это означает, что длина окружности уменьшится в 3 раза.

Ответ: длина окружности уменьшится в 3 раза.

351. a) Радиус окружности увеличили на 5 см. На сколько сантиметров увеличилась длина окружности?
б) Радиус окружности, равный 4 дм, увеличили на 3 дм. На сколько процентов увеличилась длина окружности?

a)

Дано:

Увеличение радиуса: $\Delta r = 5$ см

Перевод в СИ:

$\Delta r = 5$ см $= 0.05$ м

Найти:

Увеличение длины окружности: $\Delta L$

Решение:

Формула для длины окружности: $L = 2\pi r$.

Пусть начальный радиус окружности равен $r_1$. Тогда начальная длина окружности $L_1 = 2\pi r_1$.

Радиус увеличили на $5$ см, поэтому новый радиус $r_2 = r_1 + 5$.

Новая длина окружности $L_2 = 2\pi r_2 = 2\pi (r_1 + 5)$.

Чтобы найти, на сколько увеличилась длина окружности, вычтем из новой длины начальную длину:

$\Delta L = L_2 - L_1$

$\Delta L = 2\pi (r_1 + 5) - 2\pi r_1$

Раскроем скобки:

$\Delta L = 2\pi r_1 + 2\pi \cdot 5 - 2\pi r_1$

Члены $2\pi r_1$ и $-2\pi r_1$ взаимно уничтожаются:

$\Delta L = 10\pi$ см

Ответ: $10\pi$ см

б)

Дано:

Начальный радиус: $r_1 = 4$ дм

Увеличение радиуса: $\Delta r = 3$ дм

Перевод в СИ:

$r_1 = 4$ дм $= 0.4$ м

$\Delta r = 3$ дм $= 0.3$ м

Найти:

Процентное увеличение длины окружности: $P_{\%}$

Решение:

Формула для длины окружности: $L = 2\pi r$.

Вычислим начальную длину окружности $L_1$:

$L_1 = 2\pi r_1 = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$ дм.

Найдем новый радиус $r_2$ после увеличения:

$r_2 = r_1 + \Delta r = 4 + 3 = 7$ дм.

Вычислим новую длину окружности $L_2$:

$L_2 = 2\pi r_2 = 2\pi \cdot 7 = 14\pi$ дм.

Найдем абсолютное увеличение длины окружности $\Delta L$:

$\Delta L = L_2 - L_1 = 14\pi - 8\pi = 6\pi$ дм.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась длина окружности, используем формулу процентного изменения:

$P_{\%} = \left(\frac{\text{изменение}}{\text{начальное значение}}\right) \cdot 100\%$

$P_{\%} = \left(\frac{\Delta L}{L_1}\right) \cdot 100\%$

Подставим значения:

$P_{\%} = \left(\frac{6\pi}{8\pi}\right) \cdot 100\%$

Сократим $\pi$:

$P_{\%} = \left(\frac{6}{8}\right) \cdot 100\%$

$P_{\%} = \left(\frac{3}{4}\right) \cdot 100\%$

$P_{\%} = 0.75 \cdot 100\%$

$P_{\%} = 75\%$

Ответ: $75\%$

352. Диаметр данной окружности разделен на три равных отрезка, которые являются диаметрами трех других окружностей. Докажите, что сумма длин этих окружностей равна длине данной окружности.

Дано:

Данная окружность с диаметром $D$.

Диаметр $D$ разделен на три равных отрезка. Каждый из этих отрезков является диаметром одной из трех других окружностей. Обозначим диаметры этих трех окружностей как $d_1, d_2, d_3$.

По условию задачи, $d_1 = d_2 = d_3$, и $D = d_1 + d_2 + d_3$.

Следовательно, $D = 3d_1$, откуда $d_1 = d_2 = d_3 = \frac{D}{3}$.

Найти:

Доказать, что сумма длин этих трех окружностей равна длине данной окружности.

Обозначим длину данной окружности как $C$, а длины трех меньших окружностей как $C_1, C_2, C_3$. Необходимо доказать, что $C_1 + C_2 + C_3 = C$.

Решение:

Длина окружности (ее периметр) вычисляется по формуле $L = \pi d$, где $d$ - диаметр окружности.

Найдем длину данной (большой) окружности $C$:

$C = \pi D$

Теперь найдем длины каждой из трех меньших окружностей. Диаметр каждой из них равен $d_1 = d_2 = d_3 = \frac{D}{3}$.

Длина первой меньшей окружности $C_1$:

$C_1 = \pi d_1 = \pi \left( \frac{D}{3} \right)$

Длина второй меньшей окружности $C_2$:

$C_2 = \pi d_2 = \pi \left( \frac{D}{3} \right)$

Длина третьей меньшей окружности $C_3$:

$C_3 = \pi d_3 = \pi \left( \frac{D}{3} \right)$

Найдем сумму длин этих трех меньших окружностей:

$S = C_1 + C_2 + C_3$

$S = \pi \frac{D}{3} + \pi \frac{D}{3} + \pi \frac{D}{3}$

Вынесем общий множитель $\pi \frac{D}{3}$ за скобки:

$S = 3 \cdot \left( \pi \frac{D}{3} \right)$

Сократим тройки:

$S = \pi D$

Мы видим, что сумма длин трех меньших окружностей $S = \pi D$, что в точности равно длине данной (большой) окружности $C = \pi D$.

Ответ:

Доказано, что сумма длин трех окружностей, диаметры которых образуют равные части диаметра данной окружности, равна длине данной окружности.

353. На протяжении 3 км колесо повозки сделало 960 полных оборотов. Найдите диаметр этого колеса.

Дано:

Расстояние $S = 3$ км

Количество оборотов $N = 960$

Перевод в СИ:

$S = 3$ км $= 3000$ м

Найти:

Диаметр колеса $D$

Решение:

Расстояние, которое проезжает колесо за один полный оборот, равно длине его окружности $C$. Общее пройденное расстояние $S$ равно произведению количества полных оборотов $N$ на длину окружности колеса $C$.

$S = N \cdot C$

Длина окружности колеса связана с его диаметром $D$ формулой:

$C = \pi D$

Подставим выражение для $C$ в первую формулу:

$S = N \cdot \pi D$

Выразим диаметр $D$ из этой формулы:

$D = \frac{S}{N \pi}$

Подставим известные числовые значения:

$D = \frac{3000 \text{ м}}{960 \cdot \pi}$

Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$D \approx \frac{3000}{960 \cdot 3.14159}$

$D \approx \frac{3000}{3015.9264}$

$D \approx 0.99472$ м

Округлим результат до двух значащих цифр или до сотых долей метра:

$D \approx 0.99$ м

Ответ: $0.99$ м

354. Чтобы найти толщину дерева (диаметр окружности поперечного сечения), можно измерить его обхват (длину окружности поперечного сечения). Вычислите толщину дерева, обхват которого равен:

а) 1,5 м;

б) 2,2 м.

Дано

Обхват дерева (длина окружности поперечного сечения) $C$.

Найти

Толщина дерева (диаметр окружности поперечного сечения) $D$.

Решение

Для нахождения толщины дерева (диаметра $D$) по его обхвату (длине окружности $C$) используем формулу связи длины окружности с ее диаметром: $C = \pi D$.

Из этой формулы выразим диаметр $D$: $D = \frac{C}{\pi}$.

Для расчетов будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

а) 1,5 м

Дано: $C = 1.5$ м

Перевод в СИ: $C = 1.5$ м

Вычислим толщину дерева:

$D = \frac{1.5}{\pi} \approx \frac{1.5}{3.14159} \approx 0.47746$ м

Округлим до сотых: $D \approx 0.48$ м

Ответ: $D \approx 0.48$ м

б) 2,2 м

Дано: $C = 2.2$ м

Перевод в СИ: $C = 2.2$ м

Вычислим толщину дерева:

$D = \frac{2.2}{\pi} \approx \frac{2.2}{3.14159} \approx 0.70031$ м

Округлим до сотых: $D \approx 0.70$ м

Ответ: $D \approx 0.70$ м

355.
a) Найдите длину дуги окружности, соответствующей центральному углу в $45^\circ$, если радиус окружности равен 8 см.
б) Найдите длину дуги окружности, соответствующей центральному углу в $60^\circ$, если радиус окружности равен 10 см.

a)

Дано:

$R_1 = 8 \text{ см}$

$\alpha_1 = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$R_1 = 8 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$\alpha_1 = 45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

$L_1$

Решение:

Длина дуги окружности может быть найдена по формуле $L = \alpha R$, где $\alpha$ - центральный угол, выраженный в радианах, а $R$ - радиус окружности.

Сначала переведем угол из градусов в радианы: $\alpha_1 = 45^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

Теперь подставим значения радиуса и угла в формулу:

$L_1 = \alpha_1 R_1$

$L_1 = \frac{\pi}{4} \cdot 8 \text{ см}$

$L_1 = 2\pi \text{ см}$

Для получения приближенного численного значения, используем $\pi \approx 3.14159$:

$L_1 \approx 2 \cdot 3.14159 \text{ см}$

$L_1 \approx 6.28 \text{ см}$

Ответ: $L_1 = 2\pi \text{ см}$ или $L_1 \approx 6.28 \text{ см}$

б)

Дано:

$R_2 = 10 \text{ см}$

$\alpha_2 = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$R_2 = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$\alpha_2 = 60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

$L_2$

Решение:

Длина дуги окружности может быть найдена по формуле $L = \alpha R$, где $\alpha$ - центральный угол, выраженный в радианах, а $R$ - радиус окружности.

Сначала переведем угол из градусов в радианы: $\alpha_2 = 60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}$ радиан.

Теперь подставим значения радиуса и угла в формулу:

$L_2 = \alpha_2 R_2$

$L_2 = \frac{\pi}{3} \cdot 10 \text{ см}$

$L_2 = \frac{10\pi}{3} \text{ см}$

Для получения приближенного численного значения, используем $\pi \approx 3.14159$:

$L_2 \approx \frac{10 \cdot 3.14159}{3} \text{ см}$

$L_2 \approx \frac{31.4159}{3} \text{ см}$

$L_2 \approx 10.47 \text{ см}$

Ответ: $L_2 = \frac{10\pi}{3} \text{ см}$ или $L_2 \approx 10.47 \text{ см}$